1.   ÄéáöïñéêÝò åîéóþóåéò 1çò ôÜîçò

ÁõôÞ ç åíüôçôá åßíáé áöéåñùìÝíç óôéò äéáöïñéêÝò åîéóþóåéò  1çò   ôÜîçò .  Èá  áíáöÝñïõìå óõíïðôéêÜ ôá âáóéêÜ èåùñÞìáôá ýðáñîçò êáé ìïíáäéêüôçôáò êáé èá áóxïëçèïýìå ìå ôçí åðßëõóç ïñéóìÝíùí xáñáêôçñéóôéêþí ìïñöþí äéáöïñéêþí åîéóþóåùí.
Á.1.   ÈåùñÞìáôá 'Õðáñîçò

Èåùñïýìå ôç  äéáöïñéêÞ åîßóùóç 1  çò ôÜîçò,  ç ïðïßá Ýxåé ôç ãåíéêÞ ìïñöÞ

                                                                                 (dy/dt)=f(t, y)        (1)

H óõíÜñôçóç f,  åßíáé ìéá  óõíåxÞò óõíÜñôçóç ôùí äõï ìåôáâëçôþí t êáé y óå ìáé ðåñéïxÞ ôïõ  (t, 
          y) åðéðÝäïõ .  Äßíïõìå ôïí ïñéóìü ôçò ëýóçò ôçò äéáöïñéêÞò åîßóùóçò (1)

          Ïñéóìüò 1.1      Méá ëýóç ôçò äéáöïñéêÞò åîßóùóçò (1), óôï äéÜóôçìá  (á, 
              b) (Üí õðÜñxåé), åßíáé ìéá óõíÜñôçóç y = y (t),   ìå óõíåxÞ ðáñÜãùãï y' ç ïðïßá éêáíïðïéåß ôç äéáöïñéêÞ åîßóùóç (1), ãéá êÜèå t ∈ (a, 
                  b) . 

Ç ëýóç ôùí äéáöïñéêþí åîéóþóåùí  ðåñéëáìâÜíåé ìßá ç ðåñéóóüôåñåò óôáèåñÝò, ïé ïðïßåò ðñïêýðôïõí áðü ïëïêëÞñùóç .  Ïé óôáèåñÝò áõôÝò, ðñïóäéïñßæïíôáé áðü ôéò áñxéêÝò   óõíèÞêåò  ïé ïðïßåò óõíïäåýïõí ôç äéáöïñéêÞ åîßóùóç .   Óå áõôÞ ôçí ðåñßðôùóç, Ýxïõìå íá åðéëýóïõìå, Ýíá ðñüâëçìá áñxéêþí  ôéìþí.


Ïñéóìüò  1.2  'Åóôù (Subscript[t, 0])∈(a, b) .  
                Méá ëýóç óôï äéÜóôçìá (a, 
                b) ôïõ ðñïâëÞìáôïò áñxéêþí ôéìþí 
                                                                                         {({{(dy/dt)=f (t, y),}, {y ((Subscript[t, 0])) = (Subscript[y, 0,])}})       (Ð . Á . Ô)

	åßíáé ìéá  ëýóç ôçò åîßóùóçò (1), ç ïðïßá éêáíïðïéåß ôçí áñxéêÞ óõíèÞêç  y((Subscript[t, 0]))=(Subscript[y, 0.]) 

Áõôü óçìáßíåé üôé áíáæçôïýìå ãáé ìéá ëýóç ç ïðïßá äéÝñxåôáé áðü ôï óçìåßï ((Subscript[t, 0]), 
            (Subscript[y, 0])) .    Ç  åñìçíåßá åíüò ðñïâëÞìáôïò áñxéêþí ôéìþí  åßíáé ç åîÞò :  ãíùñßæùíôáò ôçí (áñxéêÞ êáôÜóôáóç ) åíüò óõóôÞìáôïò óå ìéá äåäïìÝíç xñïíéêÞ  óôéãìÞ,  åðéæçôïýìå ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò êáôÜóôáóçò ôïõ óõóôÞìáôïò óå êÜèå xñïíéêÞ  óôéãìÞ t ≥ (Subscript[t, 0])
(ðïëëÝò öïñÝò ç äéáöïñéêÞ åîßóùóç,  åßíáé äõíáôüí íá åðéëõèåß êáé ãéá  t < (Subscript[t, 0])!).

ÐáñÜäåéãìá 1:   Óå ðïéÜ ðåñéïxÞ ôïõ (t, 
                y)  åðéðÝäïõ, áíáìÝíïõìå ôçí ýðáñîç ëýóçò ãéá ôçí åîßóùóç
                                     y' = ((1 + ty)/(4 - (y^2)))  ;         
Ëýóç: Óýìöùíá ìå ôá ðáñáðÜíù, ç  f(t, y)=((1 + ty)/(4 - (y^2))) ïñßæåôáé óå êÜèå ðåñéïxÞ üðïõ  y≠±2.   Ãéá ðáñÜäåéãìá, ç f  ïñßæåôáé óôï áíïéêôü ïñèïãþíéï  

                                                       {(t, 
                y) :  |t|<2.7,  |y|<1.999}, 

ç ïðïßá ðåñéÝxåé ôçí áñxÞ ôùí aîüíùí (0, 0).
              
ÕðÜñxïõí ðåñéðôþóåéò üðïõ ç åíôïëÞ DSolve, áäõíáôåß íá äþóåé ôç ëýóç ôçò äéáöïñéêÞò åîßóùóçò .  Óå ìéá ôÝôïéá ðåñßðôùóç, ìðïñïýìå íá äïêéìÜóïõìå ôç äõíáôüôçôá êáôáóêåõÞò áñéèìçôéêÞò ðñïóÝããéóçò ôçò ëýóçò, ìÝóù ôçò åíôïëÞò   NDSolve

n = 
      NDSolve[{y'[t] == ((y[t]*t + 1)/(4 - y[t]^2)), 
          y[0] == 0}, y[t], {t, -2.67, 2.67}]

ÊáôáóêåõÜæïõìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò ëýóçò ìå ôçí áêüëïõèç åíôïëÞ

Plot[
      y[t] /. n, {t, -2.67, 
        2.67}, 
PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 
            0]}]

Á .  1.   ÈÅÙÑÇÌÁ ÕÐÁÑÎÇÓ ÊÁÉ ÌÏÍÁÄÉÊÏÔÇÔÁÓ ÃÉÁ ÔÏ ÐÑÏÂËÇÌÁ ÁÑXIKÙÍ ÔÉÌÙÍ

YðïèÝôïõìå üôé ç óõíÜñôçóç f (t, 
          y) ïñßæåôáé óôï ïñèïãþíéï 
                                                                                                   
                                                                                                      {(t, y) :  a < t < b,  c < y < d}  
        
ôï ïðïßï ðåñéÝxåé ôï óçìåßï ((Subscript[t, 0]), 
            (Subscript[y, 0])) .   YðïèÝôïõìå üôé ïé óõíáñôÞóåéò

                                                                                                  f (t, 
          y)    êáé ∂(f/∂)y (t, y)
åßáíé óõíåxåßò óôï ðáñáðÜíù ïñèïãþíéï .  Ôüôå
É .  ÕðÜñxåé Ýíá äéÜóôçìá  
                                                                                                           (Subscript[t, 0]) - h < t <  (Subscript[t, 0]) + h    

ôï ïðïßï ðåñéÝxåôáé  óôï äéÜóôçìá  a < t < 
        b,  óôï ïðïßï ïñßæåôáé ç ëýóç  y (t) = ö (t) ôïõ ðñïâëÞìáôïò áñxéêþí  ôéìþí (Ð . Á . Ô)

ÉÉ .   Áí ø (t) åßíáé ìéá Üëëç ëýóç ç ïðïßá ïñßæåôáé óôï äéÜóôçìá  (Subscript[t, 0]) - h < t <  
          (Subscript[t, 0]) + h ,  ôüôå   ö (t) = ø (t),  óå áõôü ôï äéÜóôçìá

ÓÕÌÐÅÑÁÓÌÁ:   ÕðïèÝôïõìå üôé  (Subscript[y, 1]) (t) êáé (Subscript[y, 2]) (t) åßíáé ëýóåéò ôçò ßäéáò äéáöïñéêÞò åîßóùóçò 
                                                                                                                  (dy/dt) = f (t, y),
üðïõ ç óõíÜñôçóç  f éêáíïðïéåß ôéò óõíèÞêåò  ðïõ äßäïíôáé óôï  èåþñçìá ýðáñîçò êáé ìïíáäéêüôçôáò .   Áí 

                                                                                                                          (Subscript[y, 1]) ((Subscript[t, 0])) = (Subscript[y, 2])((Subscript[t, 0]))     ãéá êÜðïéï  (Subscript[t, 0]),
 ôüôå éóxýåé 
                                                                                                                            (Subscript[y, 1]) (t)  =  (Subscript[y, 2]) (t) ,  óôï äéÜóôçìá ýðáñîçò.

ÐáñÜäåéãìá 2:       Èåùñïýìå ôï ðñüâëçìá áñxéêþí ôéìþí
                                                                             {({{(dy/dt)=siny,}, {y (0) = (Subscript[y, 0,])}})

üðïõ  0<(Subscript[y, 0])<π. Äåßîôå üôé 0<y (t)<π    ãéá êÜèå t .   Åðéâåâáéþóôå ôï áðïôÝëåóìá êáé ìå xñÞóç ôïõ Mathematica.

Ëýóç: H äéáöïñéêÞ åîßóùóç  y'=sin y Ýxåé ùò ëýóåéò ôéò óôáèåñÝò óõíáñôÞóåéò  

                                                                                      y (t) = 0 êáé y (t) = ð , áöïý sin 0=sin ð=0.          (2)

 ÕðïèÝôïõìå ôþñá üôé õðÜñxåé ìéá Üëëç ëýóç y (t),  ãéá çí  ïðïßá éóxýåé 
                                                             
                                                                                                                    y ((Subscript[t, 1])) ≥ ð,  ãéá êÜðïéï  (Subscript[t, 1]) .                                                       (3)

Ëüãù óõíÝxåéáò  ôçò ëýóçò, èá õðÜñxåé  êÜðïéá åëÜxéóôç ôéìÞ (Subscript[t, 1]) , ãéá ôçí ïðïßá éóxýåé ç (2), Ýóôù ç (Subscript[t, 0])  .  Ôüôå y ((Subscript[t, 0 ])) = π .   Èåùñïýìå ôþñá ôï ðñüâëçìá áñxéêþí ôéìþí 

                                                                                                         {({{(dy/dt)=siny,}, {y ((Subscript[t, 0]))=π.}})                                                                                    (4)

ÁëëÜ áðü ôç (2),  ãíùñßæïõìå ìéá Üëëç ëýóç ôïõ (4),  ôçí (Subscript[y, 1]) (t) = π .  
          EðïìÝíùò,  áðü ôï èåþñçìá ýðáñîçò êáé ìïíáäéêüôçôáò èá éóxýåé 
y (t)=(Subscript[y, 1]) (t)=π.   

Aõôü Ýñxåôáé óå áíôßèåóç ìå ôçí õðüèåóç üôé  0<(Subscript[y, 0])<π  . Ìå Ýíá áíÜëïãï åðéxåßñçìá (ÁÓÊÇÓÇ ) äåßxíïõìå üôé
 y (t)>0 ãéá êÜèå t .  Må áõôü ôïí ôñüðï êáôáëÞãïõìå óôï   üôé   0<y (t)<π    ãéá êÜèå t.

Eðéëýïõìå áñéèìçôéêÜ êáé áõôü ôï ðñüâëçìá ìå áñxéêÝò óõíèÞêåò 0 < (Subscript[y, 0]) < π .   

Ðáñáôçñïýìå üôé ïé áñéèìçôéêÝò ðñïóåããßóåéò ôùí ëýóåùí ðïõ ðáñÜãåé ôï Mathematica,  óõìöùíïýí áðïëýôùò ìå ôï áðïôÝëåóìá ôïõ ðáñáäåßãìáôïò :  ãéá áñxéêÝò óõíèÞêåò  (Subscript[y, 0]) = 0.1  ð,  0.3  ð, 0.5  ð, 0.7  ð, 
      0.9  ð,  ðáñáôçñïýìå üôé ïé ëýóåéò ãéá üëïõò ôïõò xñüíïõò, âñßóêïíôáé ìåôáîý ôïõ äéáóôÞìáôïò (0, ð).

num1[a_] := 
      Module[{num1}, 
num1 = 
          NDSolve[{y'[t] == Sin[y[t]], y[0] == a}, 
            y[t], 
{t, -10, 10}]; 
        num1[[1, 1, 2]]]

Plot[
      Evaluate[Table[
          num1[a], {a, 0.1  π, 0.9  π, 0.2  π}]], {t, -10, 
        10}, 
PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 0], 
          RGBColor[1, 0, 0], 
RGBColor[0, 1, 0], 
          RGBColor[0, 0, 1], 
          RGBColor[1, 0, 1]}]

ÐáñÜäåéãìá 3:       Èåùñïýìå ôï ðñüâëçìá áñxéêþí ôéìþí
                                                                             {({{(dy/dt)=(y^(1/3)),}, {y (0)=\(0\_, \)}})

Äåßîôå üôé õðÜñxoõí ôñÝéò ëýóåéò ôçò ìïñöÞò 
                                                                                                                 y = (Ct^a),         (5)

 ãéá êáôÜëëçëåò åðéëïãÝò ôùí óôáèåñþí C êáé a > 
            0.  ÐáñáâéÜæåôáé ôï èåþñçìá ýðáñîçò êáé ìïíáäéêüôçôáò ëýóåùí;

Ëýóç:  ÕðïèÝôïíôáò üôé ïé ëýóåéò ôïõ äïèÝíôïò ðñïâëÞìáôïò áñxéêþí ôéìþí åßíáé ôçò ìïñöÞò (5), ðáñáôçñïýìå üôé

                                                                                                       y' = (Cat^(a - 1))   êáé (y^(1/3)) = ((((Ct^a)))^(1/3)) . 

Ãéá íá Ýxïõìå éóüôçôá ôùí åêöñÜóåùí áõôþí,  èá ðñÝðåé íá éóxýåé ç óxÝóç 

                                                                                                      Ca = 
        (C^(1/3)),                      (6)
          
          êáé áí C ≠ 
        0,  èá ðñÝðåé íá éó÷ýåé ç éóüôçôá ìåôáîý ôùí åêèåôþí,  

                                                                                                   a - 1 = 
        a/3.                     (7)

Ìéá ðéèáíÞ åðéëïãÞ,  åßíáé C = 
        0,  ç ïðïßá äßíåé ôç ëýóç  (Subscript[y, 1]) (t) = 
        0.  Ãéá íá ðÜñïõìå ìéá ìç ôåôñéììÝíç ëýóç,  ëáìâÜíïõìå áðü ôçí (7),  ôçí ôéìÞ  a = 
        3/2.  Må áíôéêáôÜóôáóç áõôÞò ôçò ôéìÞò óôçí  (6),  ëáìâÜíïõìå  
                           
                                                                                               (C^(2/3)) = 2/
              3  Þ  C = ±(Sqrt[8/27]) . 

EðïìÝíùò ïé ëýóåéò ôïõ ðñïâëÞìáôïò  åßíáé ïé

                                                                                 (Subscript[y, 1]) (t) = 
        0,   (Subscript[y, 2]) (t) = (t^(3/
                2)) (Sqrt[8/27]),  (Subscript[y, 3]) (t) = -(t^(3/2)) (Sqrt[8/27]) .   

To áðïôÝëåóìá äåí ðáñáâéÜæåé ôï èåþñçìá ýðáñîçò êáé ìïíáäéêüôçôáò :  Ç óõíÜñôçóç f (t, 
                  y) = 
          (y^(1/3))  åßíáé óõíåxÞò,  áëëÜ ç ìåñéêÞ ðáñÜãùãïò

                                                                                                                ∂ (f/∂) y = (1/(3  (y^(2/3)))),
åßíáé áóõíåxÞò óôï óçìåßï y = 0, ðáñáâéÜæïíôáò Ýôóé ôç óõíèÞêç ôïõ èåùñÞìáôïò ýðáñîçò êáé ìïíáäéêüôçôáò. 

Ðáñáôçñïýìå üôé ôï Mathematica, õðïëïãßæåé ìå xñÞóç ôçò åíôïëÞò  DSolve  ôéò äýï ìç ôåôñéììÝíåò ëýóåéò ôïõ ðñïâëÞìáôïò:

sol1 = 
      DSolve[{y'[t] == y[t]^((1/3)), y[0] == 0}, y[t], 
        t]

ÓxåäéÜæïõìå ôéò  äõï ìç ôåñéììÝíåò ëýóåéò ôïõ ðñïâëÞìáôïò ìå ôéò áêüëïõèåò åíôïëÝò:

no1 = y[t] /. sol1[[1]]

no2 = y[t] /. sol1[[2]]

Plot[{no1, no2}, {t, 0, 
        10}, 
PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 1], 
          RGBColor[1, 0, 1]}]

Ç êáôáóêåõÞ áñéèìçôéêþí ðñïäåããßóåùí ãéá ôï ðáñÜäåéãìá áõôü ìå xñÞóç ôïõ Mathematica, èá ìáò ïäçãÞóåé  óå ïñéóìÝíá óçìáíôéêÜ  óõìðåñÜóìáôá:

num2 = 
      NDSolve[{y'[t] == y[t]^((1/3)), y[0] == 0}, 
        y[t], {t, 0, 10}]

Plot[
      y[t] /. num2, {t, 0, 
        10}, 
PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 
            0]}]

Ðáñáôçñïýìå üôé ç áñéèìçôéêÞ ðñïóÝããéóç ôçò ëýóçò ðïõ êáôáóêåõÜæåé ôï ðñüãñáììá áöïñÜ ôçí ôåôñéììÝíç ëýóç êáé äåí ìðïñåß íá åíôïðßóåé ôéò äõï ìç ôåôñéììÝíåò ëýóåéò .   Áí üìùò åðéëýóïõìå ôç äéáöïñéêÞ åîßóùóç ìå áñxéêÞ óõíèÞêç  y(0)=(10^(-20)), ðáñáôçñïýìå üôé

num3 = 
      NDSolve[{y'[t] == y[t]^((1/3)), y[0] == (10^(-20))}, 
        y[t], {t, 0, 10}]

Plot[
      y[t] /. num3, {t, 0, 
        10}, 
PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 
            1]}]

ÄåäïìÝíïõ üôé ç áñxéêÞ óõíèÞêç y(0)=(10^(-20)), âñßóêåôáé ðïëý êïíôÜ óôçí áñxéêÞ óõíèÞêç y(0)=0, êáé üôé ç áñéèìçôéêÞ ðñïóÝããéóç ôçò ëýóçò âñßóêåôáé ðïëý êïíôÜ óôç ìç ôåôñéììÝíç ëýóç  (Subscript[y, 2])(t), èá ìðïñïýóå êÜðïéïò íá èåùñÞóåé ôçí áñxéêÞ óõíèÞêç y(0)=(10^(-20))  
ùò Ýíá ìéêñü óöÜëìá ùò ðñïò ôá ðñáãìáôéêÜ äåäïìÝíá ôïõ ðñïâëÞìáôïò. 

Áðü ôçí Üëëç ìåñéÜ, èá ðñÝðåé íá ôïíßóïõìå üôé Þ Ýííïéá ôïõ ìåãÝèïõò ôçò áñxéêÞò  óõíèÞêçò åßíáé óxåôéêÞ, åéäéêüôåñá üôáí áíáöåñüìáóôå óå öõóéêÝò äéáäéêáóßåò ïé 
ïðïßåò åßíáé äõíáôüí íá ìïíôåëïðïéïýíôáé áðü ôï ðñüâëçìá áñxéêþí ôéìþí.  

Ôï ðáñáðÜíù ðáñÜäåéãìá  åßíáé åíäåéêôéêü ôçò ðñïóïxÞò ìå ôçí ïðïßá ðñÝðåé íá áíôéìåôùðßæïõìå  ôá áðïôåëÝóìáôá ðïõ ðáñÜãïíôáé áðü áñéèìçôéêÝò ðñïóåããßóåéò, åéäéêüôåñá üôáí  õðÜñxåé ç äõíáôüôçôá ïé ðñïóåããßóåéò íá åëåãxèïýí ìå áêñéâÞ èåùñçôéêÜ áðïôåëÝóìáôá.    Ïôáí  äåí åßíáé äõíáôüí íá Ýxïõìå óôç äéÜèåóç ìáò áíáëõôéêÝò ðëçñïöïñßåò 
(êÜôé ðïõ Ýéíáé óýíçèåò óå ðïëëÝò ðñáêôéêÝò åöáñìïãÝò),  ç åðéöýëáîç ìáò  èá ðñÝðåé íá ìáò ïäçãåß óå  xñÞóç  
Üëëùí (åíäåxoìÝíùò ðåéñáìáôéêþí )   ìåèüäùí êáé äåäïìÝíùí-üóï ôï äõíáôüí ìåãáëýôåñçò áêñßâåéáò-  
ãéá ôïí  Ýëåãxo ôçò áîéïðéóôßáò ôùí áðïôåëåóìÜôùí ìáò, þóôå íá åßíáé äõíáôÞ ç åîáãùãÞ êÜðïéùí óõìðåñáóìÜôùí.   

Ôï ðáñÜäåéãìá áíáäåéêíýåé åðßóçò ôçí êñéóéìüôçôá êáé ôç xñçóéìüôçôá  ôùí èåùñçìÜôùí ýðáñîçò ëýóçò óå ìáèçìáôéêÜ ðñïâëÞìáôá:  óôç óõãêåêñéìÝíç ðåñßðôùóç, 
ç ðáñáâßáóç ôùí óõíèçêþí ðñïåéäïðïéåß ãéá ôçí ýðáñîç ðïëëáðëþí ëýóåùí ïé ïðïßåò äåí åßíáé äõíáôüí íá ðñïóåããéóôïýí áñéèìçôéêÜ. 

Áîßæåé íá óçìåéùèåß üôé ç åíôïëÞ  NDSolve ôïõ Mathematica, âáóßæåôáé óå ìéá ðïëý éóxõñÞ ìÝèïäï áñéèìçôéêÞò åðßëõóçò äéáöïñéêþí åîéóþóåùí (ôç ëåãüìåíç ìÝèïäï Adams Predictor - 
              Corrector   ) ç ïðïßá ãåíéêÜ ðñïóöÝñåé ìåãÜëç áîéïðéóôßá .    Óôï ðáñÜäåéãìá ìáò, ðñïóÝããéóå ôï 1/
              
              3 ôçò áëÞèåéáò-ôçí ôåôñéììÝíç ëýóç.

Á.1.1   'Åêñçîç Ëýóåùí-ÏëéêÞ ýðáñîç

'Ïðùò èá äïýìå óôçí åíüôçôá Â. , ìéá ðïëý óçìáíôéêÞ éäéüôçôá ôùí ãñáììéêþí äéáöïñéêþí åîéóþóåùí 1  çò ôÜîçò, 

                                                                                        y' (t) + p (t) y (t) = q (t),

åßíáé üôé ïé ëýóåéò ïñßæïíôáé óå üëï ôï äéÜóôçìá óôï ïðïßï ïé óõíôåëåóôÝò p (t) êáé q (t) åßíáé óõíåxåßò .  ÁõôÞ ç ðïëý óçìáíôéêÞ éäéüôçôá äåí  åßíáé êÜôé ðïõ óõíáíôÜôáé ãåíéêÜ  óôéò ëýóåéò ãåíéêþí äéáöïñéêþí åîéóþóåùí :  ãéá ôç ãåíéêÞ  (ìç ãñáììéêÞ äéáöïñéêÞ åîßóùóç )

                                                                                              y' (t) = 
          f (t, y (t)), 

åßíáé äõíáôüí ç ëýóç íá ïñßæåôáé ìüíï óå êÜðïéï êáôÜëëçëï õðïóýíïëï ôïõ äéáóôÞìáôïò a < t < 
          b,  áêüìç êáé áí ç óõíÜñôçóç f (t, y)  ïñßæåôáé óå üëï ôï äéÜóôçìá a < t < 
          b .   Ãéá ôï  öáéíüìåíï áõôü,  
        xñçóéìïðïéåßôáé ï üñïò Ýêñçîç ëýóåùí .  Ç Ýêñçîç ëýóåùí óõìâáßíåé óå êÜðïéá  óõãêåêñéìÝíç  xñïíéêÞ óôéãìÞ,  ç ïðïßá ïíïìÜæåôáé xñüíïò Ýêñçîçò

Ïñéóìüò  1.1.1   Ï xñüíïò Ýêñçîçò  \(Ô\^*\), ôçò ëýóçò y (t) åíüò (Ð . Á . Ô), \(åßíáé\ ï\ ìåãáëýôåñïò\ xñüíïò\ t\_0 < \(Ô\^*\)\), \(ãéá\ ôïí\ ïðïßï\ ç\ ëýóç\ y \((t)\)\ \ \ \ ïñßæåôáé\ ãéá\ t < \(Ô\^*\)\ \ \ \ \ áëëÜ\ üxé\ ãéá\ \ t\)=\(Ô\^*\).

ÐáñÜäåéãìá 4:       Èåùñïýìå ôï ðñüâëçìá áñxéêþí ôéìþí
                                                                             {({{(dy/dt)=(y^2),}, {y (0)=\(25\_, \)}})

Eðéâåâáéþóôå ôéò óõíèÞêåò ôïõ èåùñÞìáôïò Á  .1 ãéá ôçí ýðáñîç êáé ìïíáäéêüôçôá êáé ðñïóäéïñßóôå ôï äéÜóôçìá ýðáñîçò 
                                                                                                                
Ëýóç:  Ç äéáöïñéêÞ åîßóùóç åßíáé xùñéæoìÝíùí ìåôáâëçôþí .  Ðáñáôçñïýìå üôé ç óõíÜñôçóç f (t, y)=(y^2), éêáíïðïéåß ôéò óõíèÞêåò ôïõ èåùñÞìáôïò  Á  .1.  :  ç  ßäéá  êáé ç  ìåñéêÞ ðáñÜãùãïò 
∂ f/∂ y = 2  y ,   åßíáé óõíåxåßò óõíáñôÞóåéò  óôá (ìç öñáãìÝíá äéáóôÞìáôá)   - ∞<t<+∞   êáé  - ∞<y<+∞ . 

Ç ëýóç ôçò õðïëïãßæåôáé ìå ôç ìÝèïäï ðïõ èá ðåñéãñÜøïõìå óôçí åðüìåíç åíüôçôá êáé âñßóêåôáé íá åßíáé 

                                                                                                   y (t) = (1/(1/25 - t)) = (25/(1 - 
                    25  t)) .                     (8)

        Ðáñáôçñïýìå üôé ç ëýóç ïñßæåôáé óôï äéÜóôçìá  -∞<t<0.04, ìïëïíüôé ç óõíÜñôçóç f ïñßæåôáé óôï      -∞<t<+∞.    Åðßóçò  ðáñáôçñïýìå üôé

                                                                                                           (lim_(t -> 0.04))y (t) = +∞  ,      

äçëáäÞ ç ëýóç åêñÞãíõôáé óå ðåðåñáóìÝíï xñüíï     

                                                                                                                     \(Ô\^*\)=0.04.  

Ç åõèåßá t=0.04 åßíáé êáôáêüñõöç áóýìðôùôç ãéá ôç óõíÜñôçóç (8).     'ÅîåôÜæïõìå ôá áðïôåëÝóìáôá ðïõ ðáñÜãïíôáé áðü ôï Mathematica.

sol4 = 
      DSolve[{y'[t] == y[t]^2, y[0] == 25}, y[t], 
        t]

no4 = y[t] /. sol4[[1]]

Plot[{no4,}, {t, 0,  
        0.04}, 
PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 
            1]}]

KáôáóêåõÜæïõìå åðßóçò áñéèìçôéêÞ ðñïóÝããéóç ôçò ëýóçò ìå xñÞóç ôçò åíôïëÞò  NDSolve

num4 = 
      NDSolve[{y'[t] == y[t]^2, y[0] == 25}, 
        y[t], {t, 0, 0.04}]

Áðü ôï ìÞíõìá ðïõ ðáñÜãåôáé êáôÜ ôçí åêôÝëåóç ôçò åíôïëÞò, õðïøéáæüìáóôå üôé ç áñéèìçôéêÞ ðñïóÝããéóç ðñÝðåé íá åßíáé áêñéâÞò, áöïý  ôï óýóôçìá öáßíåôáé íá ðñïóåããßæåé ôï öéáíüìåíï ôçò Ýêñçîçò ôçò ëýóçò .  Óçìåéþóôå áðü ôï ìÞíõìá üôé  äßíåôáé ìéá ðñïóåããéóéôêÞ ôéìÞ ôïõ xñüíïõ   Ýêñçîçò  \(\(T\^*\)~0.0399996\).    ÓxåäéÜæïíôáò ôçí ðñïóåããéóôéêÞ ëýóç, âëÝðïõìå üôé óõìðßðôåé ôüóï ìå ôï áðïôÝëåóìá ôçò èåùñßáò, üóï êáé ìå ôç ëýóç ðïõ äßíåôáé áðü ôçí åíôïëÞ DSolve (ç ïðïßá åðéëýåé ôï ðñüâëçìá ìå ôç ìÝèïäï xùñéæïìÝíùí ìåôáâëçôþí)

Plot[
      y[t] /. num4, {t, 0, 
        0.04}, 
PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 
            0]}]

ÐáñÜäåéãìá 5:       Èåùñïýìå ôï ðñüâëçìá áñxéêþí ôéìþí
                                                                             {({{(dy/dt)=1+(y^2),}, {y (0)=\(0\_, \)}})

Eðéâåâáéþóôå ôéò óõíèÞêåò ôïõ èåùñÞìáôïò Á  .1 ãéá ôçí ýðáñîç êáé ìïíáäéêüôçôá êáé ðñïóäéïñßóôå ôï äéÜóôçìá ýðáñîçò 
                                                                                                                
Ëýóç:  Ç äéáöïñéêÞ åîßóùóç åßíáé  åðßóçò xùñéæoìÝíùí ìåôáâëçôþí .  Ðáñáôçñïýìå üðùò áêñéâþò êáé óôï ÐáñÜäåéãìá 4. , üôé ç óõíÜñôçóç f (t, y)=1 + (y^2), éêáíïðïéåß ôéò óõíèÞêåò ôïõ 
èåùñÞìáôïò  Á.1. 

Ç ëýóç ôçò  âñßóêåôáé íá åßíáé ç    y(t)=tan t,    ç ïðïßá åêñÞãíõôáé ôéò xñïíéêÝò óôéãìÝò       t=±π/2. 
'ÅîåôÜæïõìå ôá áðïôåëÝóìáôá ðïõ ðáñÜãïíôáé áðü ôï Mathematica.

sol5 = 
      DSolve[{y'[t] == 1 + y[t]^2, y[0] == 0}, y[t], 
        t, ]

Plot[Tan[t], {t, -(π/2), (π/2)}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0]}]

num4 = 
      NDSolve[{z'[t] == 1 + z[t]^2, z[0] == 0}, 
        z[t], {t, -2, 2}]

Káé óå áõôü ôï ðáñÜäåéãìá,áðü ôï ìÞíõìá ðïõ ðáñÜãåôáé êáôÜ ôçí åêôÝëåóç ôçò åíôïëÞò, õðïøéáæüìáóôå üôé ç áñéèìçôéêÞ ðñïóÝããéóç ðñÝðåé íá åßíáé áêñéâÞò, ê;èþò  öáßíåôáé íá ðñïóåããßæåôáé ôï öáéíüìåíï ôçò Ýêñçîçò ôçò ëýóçò .  Óçìåéþóôå áðü ôï ìÞíõìá üôé  äßíåôáé ìéá ðñïóåããéóéôêÞ ôéìÞ ôïõ xñüíïõ   Ýêñçîçò  \(T\^*\)~1.57078.   ÄïêéìÜæïíôáò ãéá ìéêñüôåñï xñïíéêü äéÜóôçìá

num4 = 
      NDSolve[{z'[t] == 1 + z[t]^2, z[0] == 0}, 
        z[t], {t, -1.56, 1.56}]

Plot[
      z[t] /. num4, {t, -1.56, 
        1.56}, 
PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 
            1]}]

ÓõìðåñéöïñÜ Ýêñçîçò ëýóåùí,  äåí åßíáé äõíáôü íá ðáñáôçñçèåß ãéá ãñáììéêÝò äéáöïñéêÝò åîéóþóåéò ðñþôçò ôÜîçò .  Ôï ðáñáêÜôù èåþñçìá ðáñÝxåé éêáíÝò óõíèÞêåò ãéá ôçí ïëéêÞ ýðáñîç ôùí ëýóåùí ãéá ìéá ìç - ãñáììéêÞ äéáöïñéêÞ åîßóùóç ðñþôçò ôÜîçò.

Á .  1.1         ÈÅÙÑÇÌÁ ÏËÉÊÇÓ ÕÐÁÑÎÇÓ  

YðïèÝôïõìå üôé ç óõíÜñôçóç f (t, 
            y) ïñßæåôáé óôï äéÜóôçìá   a < 
        t < b êáé üôé ïé óõíáñôÞóåéò
                                                                                                        f (t, 
            y)    êáé ∂(f/∂)y (t, y)
 åßíáé óõíåxåßò .    ÕðïèÝôïõìå åðéðëÝïí üôé ç óõíÜñôçóç  f (t, 
              y)  éêáíïðïéåß ôç óõíèÞêç áýîçóçò

                                                                                               |f (t, y)|≤p (t)|y|+q (t)    

ãéá  a<t<b êáé -∞<y<+∞, üðïõ p(t)   êáé q(t) åßíáé óõíåxåßò óõíáñôÞóåéò óôï äéÜóôçìá  a<t<b .  
Ôüôå ç ëýóç y(t) ôçò äéáöïñéêÞò åîßóùóçò  (1)  ïñßæåôáé óå üëï ôï äéÜóôçìá    a<t<b.

ÐáñÜäåéãìá 6: Äåßîôå üôé ç äéáöïñéêÞ åîßóùóç ðñþôçò ôÜîçò 
 
                                                                                  y'=(t + y)sin((((1+t))^2)+(y^2)),

Ýxåé ëýóåéò ïé ïðïßåò ïñßæïíôáé óå üëüêëçñç ôçí åõèåßá  - ∞<t<+∞.

Ëýóç: Káèþò |sin((((1+t))^2)+(y^2))|≤1, ðñïêýðôåé üôé  | 
              f (t, y) | ≤|y|+|t| êáé åðïìÝíùò ôï èåþñçìá Á  .1  .1 åöáñìüæåôáé ãéá p (t) = 1  êáé q (t) = |t|. Eðéëýïõìå áñéèìçôéêÜ ãéá åîïìïßùóç ôïõ áðïôåëÝóìáôïò

globalex=NDSolve[{z'[
              t] == Sin[(((1 + t))^2) + z[t]^2]*(t + z[t]),  
          z[0] == 0}, z[t], {t, -10, 10}, 
        MaxStepSize -> 20000, 
        MaxSteps -> 30000]

Plot[
      z[t] /. globalex, {t, -10, 
        10}, 
PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 
            0]}]

Á.1.   ÌÝèïäïé åðßëõóçò âáóéêþí äéáöïñéêþí åîéóþóåùí 1çò ôÜîçò

Óôç óõíÝxåéá,  ðåñéãñÜöïõìå ìå óõíôïìßá ôéò ìåèüäïõò åðßëõóçò ïñéóìÝíùí âáóéêþí äéáöïñéêþí åîéóþóåùí 1  çò ôÜîçò

B.1   ÌÅÈÏÄÏÓ ÅÐÉËÕÓÇÓ ÃÉÁ ÔÇ   ÄÉÁÖÏÑÉÊÇ ÅÎÉÓÙÓÇ XÙÑÉÆÏÌÅÍÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ

 Ãéá ôçí åðßëõóç ôçò  äéáöïñéêÞò åîßóùóçò 
                                                                                                                 
                                                                                                                y' = c (t) g (y),                                (X)

 áêïëïõèïýìå ôá ðáñáêÜôù âÞìáôá

                 ÂÇÌÁ 1.     ÃñÜöïõìå ôç äéáöïñéêÞ åîßóùóç óôç ìïñöÞ 
                                   
                                                                                                               (dy/(g (y)))  - c (t) dt  = 
          0                             (X1)

                

                 BHMA 2.     Oëïêëçñþíïõìå (áí  åßíáé åöéêôü) êáé ôá äýï ìÝëç ôçò (X1) .    ËáìâÜíïõìå  ôçí Ýêöñáóç

                                                                                                              G (y) + K (t) = 
          C,                                 (X3)

üðïõ  C  åßíáé ìéá áõèáßñåôç óôáèåñÜ ç ïðïßá ðñïêýðôåé áðü ôéò ïëïêëçñþóåéò .  

Ç (X3),  åßíáé ðåðåëãìÝíç Ýêöñáóç ôçò ëýóçò êáé  oñßæåé ôçí ïéêïãÝíåéá ôùí ïëïêëçñùôéêþí êáìðýëùí ôçò äéáöïñéêÞò åîßóùóçò .     ÊÜèå ðáñáãùãßóéìç óõíÜñôçóç y (t),  ðïõ éêáíïðïéåß ôçí (X3) åßíáé ëýóç ôçò äéáöïñéêÞò åîßóùóçò (X)
         
                 BHMA 3.  Áí ç (X3) ìðïñåß íá ëõèåß ùò ðñïò  y, ëáìâÜíïõìå ôçí ëýóç y(t).

Ç ëýóç åíüò ðñïâëÞìáôïò áñxéêþí ôéìþí, ðñïêýðôåé áðü ôç óxÝóç (X1) :  
              Xñçóéìïðïéþíôáò ôçí áñxéêÞ óõíèÞêç y ((Subscript[t, 0])) = (Subscript[y, 0]), áðü ôçí (X1) ðñïêýðôåé ç 

                                                                                                        (∫_((Subscript[y, 0]))^y) 
                    (1/(g (z))) \[DifferentialD]z  - (∫_((Subscript[t, 0]))^t) c (r) \[DifferentialD]r=0.

ÐáñÜäåéãìá 7:       Èåùñïýìå ôï ðñüâëçìá áñxéêþí ôéìþí
                                                                             {({{(dy/dt)=((3  (t^2) + 4  t + 
                                2)/(2 (y - 1))),}, {y (0) = -1}})

Ëýóç: Ç äéáöïñéêÞ åîßóùóç Ýñxåôáé óôç  ìïñöÞ 
   
                                                                                                       (2  y - 1) dy = (3  (t^2) + 4  t + 2) 
            dt . 

ÅðïìÝíùò ç ëýóç ôïõ ðñïâëÞìáôïò áñxéêþí ôéìþí,  äßíåôáé áðü ôç óxÝóç

                                                                                                     (∫_(-1)^y) 
            2 (z - 1) \[DifferentialD]z = (∫_0^t)(3  (r^2) + 
                4  r + 2) \[DifferentialD]r, 

ç ïðïßá äßíåé ôçí Ýêöñáóç ôçò ëýóçò ôïõ ðñïâëÞìáôïò áñxéêþí  ôéìþí óå ðåðëåãìåíç ìïñöÞ

                                                                                                              (y^2) - 2  y = 
        3 + (t^3) + 2  (t^2) + 
          2  t .         (7.1)

Ïé ëýóåéò ôçò (7.1) ùò ðñïò y,  åßíáé 

                                                                                                          y (t) = 
        1 ± (Sqrt[(t^3) + 2  (t^2) + 2  t + 4]) .     (7.2)

To ðñüâëçìá Ýxåé ìïíáäéêÞ ëýóç (ãéáôß;)  êáé ðñïêýðôåé åðéëÝãïíôáò áðü ôçí   (7.2),  åêåßíç ðïõ éêáíïðïéåß ôçí áñxéêÞ óõíèÞêç .   Ç ëýóç áõôÞ åßíáé ç 

       

                                                                                                            y (t) = 
        1 - (Sqrt[(t^3) + 2  (t^2) + 2  t + 4])    (7.3)

Ïé ïëïêëçñùôéêÝò êáìðýëåò ôïõ ðñïâëÞìáôïò äßíïíôáé áðü ôç óxÝóç


                                                                                                                 (y^2) - 2  y=C+(t^3)+2  (t^2)+2t.

ÓxåäéÜæïõìå ôéò ïëïêëçñùôéêÝò êáìðýëåò ìå ôï MATHEMATICA .  Ç ëýóç ôïõ ðñïâëÞìáôïò (ãéá C = 3), åßíáé ç êáìðýëç ìå ôï ìðëÝ xñþìá.

separ=DSolve[{y'[t]==((3  (t^2) + 4  t + 2)/(2 (y[t] - 1)))},y[t],t]

sep1 = y[t] /. separ[[1]]

sep2 = y[t] /. separ[[2]]

Needs["Graphics`ImplicitPlot`"]

Remove[ImplicitPlot]

graph0=ImplicitPlot[{(y^2) - 2  y == 
            3 + (t^3) + 2  (t^2) + 2  t, 
          (y^2) - 2  y == -4 + (t^3) + 2  (t^2) + 2  t, 
          (y^2) - 2  y == 1 + (t^3) + 2  (t^2) + 2  t, 
          (y^2) - 2  y == 0.5 + (t^3) + 2  (t^2) + 2  t, 
          (y^2) - 2  y == 0.2 + (t^3) + 2  (t^2) + 2  t, 
          (y^2) - 2  y == -5 + (t^3) + 2  (t^2) + 2  t, 
          (y^2) - 2  y == -8 + (t^3) + 2  (t^2) + 2  t, 
          (y^2) - 2  y == 0.3 + (t^3) + 2  (t^2) + 2  t}, {t, -10, 
          10}, {y, -10, 10}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 1], RGBColor[0, 0, 0], 
            RGBColor[0, 0, 0], RGBColor[0, 0, 0], RGBColor[0, 0, 0], 
            RGBColor[0, 0, 0], RGBColor[0, 0, 0], RGBColor[0, 0, 0]}, 
        PlotPoints -> 300, PlotRange -> {-4, 5}, 
        AspectRatio -> Automatic]

ÐáñÜäåéãìá 8 : Ôáxýôçôá äéáöõãÞò áðü ôï ðåäßï âáñýôçôáò ôçò ãçò 
Óýìöùíá ìå ôï íüìï ôïõ Newton,  ãéá ôç äýíáìç ôçò âáñýôçôáò  ç åëêôéêÞ äýíáìç
 (Overscript[( F),  ->])    ìåôáîý  äõï  óùìÜôùí  ìå  ìÜæåò    (Subscript[μ, 1])  êáé  (Subscript[μ, 2])  áíôßóôïéxá,  ìåôáâÜëëåôáé áíôéóôñüöùò áíÜëïãá ìå ôçí áðüóôáóç ìåôáîý ôùí óùìÜôùí .  ÄçëáäÞ ôï ìÝôñï ôçò äýíáìçò,  äßíåôáé áðü ôç óxÝóç

                                                                                                         F = ((G (Subscript[μ, 1]) (Subscript[μ, 2]) )/(r^2)),                                 (ÍÂ)
üðïõ G ∼ ((6.6726×(10^(-11)) m)/(Kgr×
                (sec^2))) . 

 Ì ∼ 
        5.976×(10^24) Êgr  åßíáé ç ìÜæá ôçò ãçò êáé R ∼ 
        6.378  .164 Km  ç áêôßíá ôçò ãçò .  
Ãéá Ýíá óþìá ìÜæáò μ, ôï ïðïßï âñßóêåôáé óôçí åðéöÜíåéá ôçò ãçò,   ï íüìïò (ÍÂ) ãñÜöåôáé 

                                                                                                                   F = μg,                                  (B1)
üðïõ
                                                                                                         
                                                                                                          g = (GM/(R^2)) ∼ ((9.80  m)/(sec^2)),                     (B2)

ç åðéôÜxõíóç ëüãù âáñýôçôáò .     Ç óxÝóç (Â1),  äßíåé ôï âÜñïò åíüò óþìáôïò ìÜæáò μ,  
ôï ïðïßï âñßóêåôáé óôçí åðéöÜíåéá ôçò ãçò . 

ÕðïèÝôïõìå ôþñá,  üôé Ýíá óþìá êéíåßôáé êáôáêüñõöá ðñïò ôá ðÜíù,  õðü ôçí åðßäñáóç ôïõ âáñõôéêïý ðåäßïõ ôçò ãÞò,  óõìâïëßæïíôáò ìå y,  ôçí áðüóôáóç ôïõ óþìáôïò áðü ôçí åðéöÜíåéá ôçò ãçò êáé èåùñþíôáò ôçí áíôßóôáóç ôïõ áÝñá áìåëçôÝá .  Åöáñìüæïíôáò ôï 2  ï íüìï ôïõ Newton (âë .  ðáñÜäåéãìá 9),  ç åîßóùóç ôçò êßíçóçò ôïõ óþìáôïò åßíáé 

                                                                                                   μ 
           (dV/dt) =   -Gì(Ì/(((R + y))^2))  

êáé xñçóéìïðïéþíôáò  ôç (B2),  ãßíåôáé

                                                                                                      μ 
           (dV/dt) =  -((μ g (R^2))/(((R + y))^2))                                (Â3)

Êáèþò ç äýíáìç åîáñôÜôáé áðü ôç èÝóç ôïõ óþìáôïò y,  ãéá íá ìðïñÝóïõìå íá ëýóïõìå ôçí (Â3) xñçóéìïðïéïýìå  ôéò óxÝóåéò 

                                                                                                       (dy/dt) = V êáé     (dV/dt) = (dV/dy) 
              (dy/dt) = (dV/dy) V

êáé ç åîßóùóç (Â3) ðáßñíåé ôç ìïñöÞ (óçìåéþóôå ôçí áðëïðïßçóç ôçò μ)

                                                                                                                 V 
           (dV/dy) = -((g (R^2))/(((R + y))^2))                        (B4)

H åîßóùóç  (B4) åßíáé xùñéæïìÝíùí ìåôáâëçôþí .    ÃñÜöïíôáò

                                                                                                                  VdV = -((g (R^2))/(((R + y))^2)) 
          dy, 

êáé ïëïêëçñþíïíôáò êáé ôá äõï ìÝñç,  âñßóêïõìå ôçí åîßóùóç ãéá ôéò ïëïêëçñùôéêÝò êáìðýëåò  ôçò (Â4)

                                                                                                                    (1/2) (V^2) - ((gR^2)/(R + y)) = 
        C,                         (Å)


ðïõ äçëþíåé êáé ôçí äéáôÞñçóç ôçò åíÝñãåéáò ãéá ôï ìïíôÝëï áõôü .    Áí äßíåôáé ç áñxéêÞ ôáxýôçôá (ôáxýôçôá åêôüîåõóçò) ãéá
 y = 
        0,   V (0) = (Subscript[V, 0, ]) ç óôáèåñÜ C = 
          (Subscript[V, 0]^2)/2 - 
            gR  êáé 

                                                                                                                (V^2) = 
        (Subscript[V, 0]^2) - 
          2  gR + ((2  (gR^2))/(R + 
                  y))  .                (T1)


Táxýôçôá äéáöõãÞò :   Ç ôáxýôçôá äéáöõãÞò åßíáé ìéêñüôåñç (Subscript[V, 0, ]) ãéá ôçí ïðïßá ç V ç ïðïßá äßíåôáé áðü ôçí (Ô),  åßíáé êáëÜ
ïñéóìÝíç .       
ÄçëáäÞ áðáéôïýìå ôï áñéóôåñü ìÝëïò ôçò (Ô) íá åßíáé ìç - áñíçôéêü ãéá êÜèå y > 
        0,  
éäéáßôåñá ãéá y -> ∞ .    Aõôü óçìáßíåé üôé  
                     
                                                                                                                                (Subscript[V, 0]^2) - 2  gR ≥ 
        0                        (Ô2)    
                                                                                                                         
êáé ç ìéêñüôåñç ôéìÞ ãéá ôçí ïðïßá éóxýåé ç (Ô2),  åßíáé ç

                                                                                                                                 (Subscript[V, ã])ç=(Sqrt[2  gR])∼11.2Kgr/sec.

Åßíáé ìåãÜëçò óçìáóßáò, ôï åñþôçìá ãéá ôï áí ç åîßóùóç (Ô1), ìðïñåß áí åðéëõèåß Ýôóé þóôå ç áðüóôáóç y íá äßíåôáé ùò óõíÜñôçóç ôïõ xñüíïõ .  Óôç ãåíéêÞ ôïõ ðåñßðôùóç, äçëáäÞ ãéá áõèáßñåôåò ôéìÝò ôçò (Subscript[V, 0]), ôï ðñüâëçìá åßíáé áñêåôÜ ðåñßðëïêï.   Óôçí ðåñßðôùóç üìùò ðïõ ç áñxéêÞ ôáxýôçôá åßíáé ßóç ìå ôçí ôáxýôçôá äéáöõãÞò (Subscript[V, ã])ç, áõôü åßíáé äõíáôü.

ÐáñÜäåéãìá 8.a: Eðéëýóôå ôçí åîßóùóç (Â3),  ãéá íá âñåßôå ôç èÝóç y (t), óôçí ðåñßðôùóç üðïõ ç áñxéêÞ ôáxýôçôá åßíáé ßóç ìå ôçí ôáxýôçôá äéáöõãÞò .  ÄçëáäÞ V (0)=(Subscript[V, ã])ç

Ëýóç:  Ãéá ôçí ðåñßðôùóç V(0)=(Subscript[V, ã])ç, ç åîßóùóç (Ô1), ãñÜöåôáé 

                                                                                                     V = (dy/dt) = (Sqrt[((2  g (R^2))/(R + y))]),                (T3)

ç ïðïßá åßíáé xùñéæïìÝíùí ìåôáâëçôþí .  Ç ëýóç ôçò åîßóùóçò åßíáé

                                                                                         (2/3) (((R + y))^((3/2))) = 
          Rt (Sqrt[ 2  g]) + C,               (T4)
üðïõ C åßíáé óôáèåñÜ ïëïêëÞñùóçò .   
Ç áñxéêÞ óõíèÞêç ãéá ôç èÝóç y  åßíáé y (0) = 0.   ' Áñá C = (2/3) 
              (R^(3/2))  .  Ëýíïíôáò ôçí åîßóùóç (Ô4) ùò ðñïò y,  ëáìâÜíïõìå ôç ëýóç ôïõ ðñïâëÞìáôïò áñxéêþí óõíèçêþí

                                                                                       y (t) = (((((3 (Sqrt[ 2  g]))/2) Rt + (R^(3/2))))^(2/3)) - 
            R . 

Ìå áíôéêáôÜóôáóç ôùí ðñïóåããéóôéêþí ôéìþí ãéá ôéò R, 
        g, 
âñßóêïõìå

                                                                       y (t) = (((1339.41  t + 509382))^(2/3)) - 
            6378   Km.   (T5)

ÓxåäéÜæïõìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò ëýóçò óôï äéÜóôçìá 

         0 ≤ t ≤ 
          1.81853·(10^5)  sec ≃ 50.52 h ≃ 
          xñüíïò ðïõ áðáéôåßôáé ãéá Ýíá óþìá ðïõ åêôïîåýåôáé ìå ôáxýôçôá äéáöõãÞò,  ãéá íá öôÜóåé óôç óåëÞíç.

earth[
        t_] = (((1339.41  t + 509382))^((2/3))) - 6378

Plot[earth[t], {t, 0, 1.81853*(10^5)}, PlotPoints -> 1000, 
      PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 1]},  
      PlotRange -> {0, 400000}]

Ãéá   t = 
        1.81853*(10^5),  âñßóêïõìå ôçí ðñïóåããéóôéêÞ ôéìÞ ãéá ôçí áðüóôáóç ãçò - óåëÞíçò ≃ 384188 Êm.

earth[1.81853*(10^5)]

B.2    ÌÅÈÏÄÏÓ ÅÐÉËÕÓÇÓ ÃÉÁ ÔÇ   ÃÑÁÌÌÉÊÇ  ÄÉÁÖÏÑÉÊÇ ÅÎÉÓÙÓÇ 

Ãéá ôçí åðßëõóç ôçò  äéáöïñéêÞò åîßóùóçò 
                                                                                                                 
                                                                                                                a (t) y' + b (t) y = c (t),            (ÃÅ)

áêïëïõèïýìå ôá ðáñáêÜôù âÞìáôá

                 ÂÇÌÁ 1.     ÃñÜöïõìå ôç äéáöïñéêÞ åîßóùóç óôç ìïñöÞ 
                                   
                                                                                                                       y' + p (t) y = 
          q (t)                 (ÃÅ1)

                

                 BHMA 2.     Õðïëïãßæïõìå ôïí ïëïêëçñùôéêü ðáñÜãïíôá     

                                                                                                              ì (t)= exp(∫p (t) \[DifferentialD]t).
         
          BHMA 4.  Õðïëïãßæïõìå ôï    ïëïêëÞñùìá

                                                                                                                ∫ì(t)q(t)\[DifferentialD]t.

          BHMA 5.  Ç ëýóç  äßíåôáé áðü ôïí ôýðï

                                                                                                          y (t) = ((1/(ì (t))) (C + ∫ì (t) q (t) \[DifferentialD]t)),
                                     
              üðïõ C åßíáé áõèáßåñåôç óôáèåñÜ ïëïêëÞñùóçò.

ÐáñÜäåéãìá 9 : (êßíçóç óþìáôïò  óå ìÝóï ìå áíôßóôáóç)  
Óýìöùíá ìå ôï äåýôåñï íüìï ôïõ Newton,   áí (Overscript[( F),  ->])  åßíáé ç (åîùôåñéêÞ) äýíáìç ðïõ áóêåßôáé ðÜíù óå Ýíá óþìá ìÜæáò m ,  áðïôÝëåóìá ôçò ïðïßáò åßíáé áõôü íá êéíåßôáé ìå ôáxýôçôá (Overscript[v,  ->]) ,  ôüôå 

                                                                                                (Overscript[( F),  ->])   = (d/dt) (m (Overscript[v,  ->]) ) = 
          (d/dt) ( (Overscript[p,  ->]) ) ,                  (ÍÍ)

üðïõ (Overscript[p,  ->])  ,  åßíáé ç ïñìÞ .  Áí ôï óþìá äåí åßíáé ìåôáâëçôÞò ìÜæáò,  ç óxÝóç    (ÍÍ) ãñÜöåôáé 

                                                                                                               (Overscript[( F),  ->])   = m (( d (Overscript[v,  ->]) )/dt)  = m  (Overscript[a,  ->])  ,            (NN2)
üðïõ (Overscript[a,  ->]) ,  åßíáé ç åðéôÜxõíóç ôïõ óþìáôïò

Âñåßôå ôo ìåôñï ôçò ôáxýôçôáò V (t)  åíüò óþìáôïò óôáèåñÞò ìÜæáò m,  ôï ïðïßï êéíåßôáé êáôáêüñõöá ðñïò ôá êÜôù óôïí áÝñá ìå áñxéêÞ ôáxýôçôá ìÝôñïõ V (0) = (Subscript[V, 0]),  ãéá t > 
          0,  ìå ôçí õðüèåóç üôé ç áíôßóôáóç ôïõ áÝñá åßíáé áíÜëïãç ðñïò ôçí ôáxýôçôá 

Ëýóç: Áí (Overscript[k,  ->]) , åßíáé ôï ìïíáäéáßï äéÜíõóìá óôçí êáôáêüñõöç ðñïò ôá êÜôù, ôüôå ôï âÜñïò ôïõ óþìáôïò åßíáé mg  
                  (Overscript[k,  ->])  êáé ç áíôßóôáóç ôïõ áÝñá åßíáé  - λV (t) (Overscript[k,  ->]) , λ>0.  ÅðïìÝíùò,ç óõíéóôáìÝíç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé óôï óþìá, åßíáé (Overscript[F,  ->])  = (mg - λV (t)) (Overscript[k,  ->])  .  
                Eöáñìüæïíôáò ôï íüìï (ÍÍ2), ç åîßóùóç ôçò êßíçóçò ãéá ôï óþìá áõôü åßíáé ç ãñáììéêÞ äéáöïñéêÞ åîßóùóç 1  çò ôÜîçò

                                                                                               m (( dV (t))/dt) = mV' (t) = 
          mg - λV (t)                 (9.1)

Äéáéñþíôáò ôçí (8.1) ìå m,  âñßóêïõìå üôé ï ïëïêëçñùôéêüò ðáñÜãïíôáò (áêïëïõèþíôáò ôï ÂÇÌÁ 2)   åßíáé (E^(∫(λ/m) \[DifferentialD]t)) = (E^(λ(t/m))) .  
ÐïëëáðëáóéÜæïíôáò ôçí (8.1) ìå ôïí ïëïêëçñùôéêü ðáñÜãïíôá,  ðñïêýðôåé üôé
   
                                                                                                     (E^(λ(t/m))) 
            V' (t) + (λ/m) (E^(λ(t/m))) V (t) = 
        mg(E^(λ(t/m))), 
Þ äéáöïñåôéêÜ ä
                                                                                                             (d/dt) ((E^(λ(t/m))) V (t)) = 
        mg(E^(λ(t/m)))  .                         (9.2)
Ïëïêëçñþíïíôáò ôçí (8.2) ùò ðñïò t,  âñßóêïõìå üôé
   
                                                                                                                   (E^(λ(t/m))) 
          V (t) = (mg/λ) (E^(λ(t/m))) + 
          C                    (9.3)
Xñçóéìïðïéþíôáò ôçí áñxéêÞ óõíèÞêç   V (0) = 
        (Subscript[V, 0]) ,  õðïëïãßæïõìå ôç óôáèåñÜ 
    
                                                                                                                               C =  
        (Subscript[V, 0]) - (mg/λ)  . 
ÅðéóôñÝöïíôáò ôþñá óôçí (8.3) êáé äéáéñþíôáò ìå    (E^(λ(t/m))),  âñßóêïõìå ôç ëýóç ôïõ ðñïâëÞìáôïò áñxéêþí  ôéìþí

                                                                                                            V (t) =    (mg/λ) + ( 
              (Subscript[V, 0]) - (mg/λ)) (E^(-λ(t/m)))   .        (9.4)
AóõìðôùôéêÞ óõìðåñéöïñÜ: Ðáñáôçñïýìå üôé 

                                                                                                                        lim (Underscript[( V (t)), t -> +∞]) =  (mg/λ) := 
          (Subscript[V, o])ñ, 
äçëáäÞ ìåôÜ áðü êáðïéï ìéêñü xñïíéêü äéÜóôçìá (ìðïñåßôáé íá õðïëïãßóåôå ðïéÜ;) ôï óþìá óôçí ðñÜîç êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôáxýôçôá (Subscript[V, o])ñ
Ëýíïõìå ìå ôï Mathematica, ãéá ôéò ôéìÝò  m = 10, g ∼ 9.80, λ = 2  êáé  (Subscript[V, 0]) = 
            100. 
 Ç (Subscript[V, o])ñ = 49, ðñÝðåé íá åßíáé áóýìðôùôç ôçò ëýóçò

DSolve[{10  y'[t] == -2 y[t] + 98, 
        y[0] == 100}, y[t], t]

V[
        t_] = (E^(-t/5)) (51 + 
            49 (E^(t/5)))

Plot[Evaluate[{V[t]}], {t, 0, 60}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 1]}, 
      Epilog -> {AbsoluteDashing[{6, 6}], Line[{{0, 49}, {60, 49}}]}, 
      PlotRange -> {0, 100}, AspectRatio -> 0.7]

ÐáñÜäåéãìá 10 : (Çëåêôñéêü êýêëùìá)  

   Óå Ýíá çëåêôñéêü êýêëùìá, çëåêôñéêü ñåýìá ñÝåé óôï åóùôåñéêü ìéáò êáôáóêåõÞò ç ïðïßá áðïôåëåßôáé áðü  âáóéêÜ óôïéxåßá óôá ïðïßá õðÜñxåé äéáöïñÜ ôÜóçò .   Ôá óôïéxåßá áõôÜ åßíáé áíôéóôÜóåéò, ðçíßá, ðõêíùôÝò  êáé ãåííÞôïñáò çëåêôñåãåñôéêÞò äýíáìçò .  ' Åíá áðëü êýêëùìá RL, áðïôåëåßôáé áðü ìéá áíôßóôáóç R, Ýíá ðçíßï åðáãùãÞò  L êáé ìéá çëåêôñåãåñôéêÞ äýíáìç Å(t) .   Óôçí áíÜëõóç åíüò ôÝôïéïõ êõêëþìáôïò xñçóéìïðïéïýíôáé: 

Ï íüìïò ôïõ Kirkhoff ãéá ôç äéáöïñÜ äõíáìéêïý: Óå Ýíá êëåéóôü êýêëùìá, ç  óõíïëéêÞ äéáöïñÜ äõíáìéêïý åßíáé ßóç ìå ôï Üèñïéóìá ôùí åðéìÝñïõò äéáöïñþí äõíáìéêïý óôï êýêëùìá.

Ï íüìïò ôïõ Kirkhoff ãéá ôï ñåýìá: Óå Ýíá êüìâï äýï Þ ðåñéóóüôåñùí óôïéxåßùí ôïõ êõêëþìáôïò, ôï ðïóü ôïõ ñåýìáôïò ðïõ åéóÝñxåôáé óôïí êüìâï, åßíáé ßóï ìå ôï ðïóü ôïõ ñåýìáôïò ðïõ åîÝñxåôáé áðü ôïí êüìâï . 

Aí I åßíáé ç Ýíôáóç ôïõ ñåýìáôïò ðïõ äéáñåÝé ôï êýêëùìá, ôüôå ãéá ôç äéáöïñÜ äõíáìéêïý óôá Üêñá êÜèå óôïéxåßïõ, éóxýåé

Íüìïò ôïõ Ohm: ÄéáöïñÜ äõíáìéêïý óôá Üêñá áíôßóôáóçò=RI
Nüìïò ôïõ Faraday: ÄéáöïñÜ äõíáìéêïý óôá Üêñá ðçíßïõ=L  (dI/dt)


ÅöáñìïãÞ: Óôá Üêñá åíüò RL êõêëþìáôïò ç çëåêôñåãåôéêÞ äýíáìç ìåôáâÜëëåôáé  óýìöùíá ìå ôç óxÝóç
Å(t)=(Subscript[Å, 0])+(Subscript[Å, 1]) cos (ωt), üðïõ (Subscript[Å, 0]) êáé (Subscript[Å, 1]), åßíáé  óôáèåñÝò .  Âñåßôå ôçí Ýíôáóç ôïõ ñåýìáôïò ãéá êÜèå xñïíéêÞ óôéãìÞ t, áí ç áñxéêÞ ôéìÞ ãéá ôï ñåýìá åßíáé É (0) = (Subscript[É, 0]) 

Ëýóç: Aí åñãáóôïýìå üðùò óôï ðáñÜäåéãìá 6,Åöáñìüæïíôáò ôïõò íüìïõò ôïõ Kirkhoff ãéá ôç äéáöïñÜ äõíáìéêïý êáé ôïõò íüìïõò ôùí Ohm êáé Faraday, ôüôå ðñïêýðôåé üôé ç äéáöïñéêÞ åîßóùóç ãéá ôçí Ýíôáóç ôïõ ñåýìáôïò, åßíáé     
                                                                                                    L(dI/dt)+RI=(Subscript[E, 0])+(Subscript[E, 1]) 
              cos (ωt) .                  (ÐÅ1)

Ç åîßóùóç (ÐÅ1),  äéá öÝñåé áðü ôçí åîßóùóç ôïõ ðáñáäåßãìáôïò 6,  ìüíï ùò ðñïò ôïí óõíIçìéôïíéêü üñï .  Áêïëïõèþíôáò ôá âÞìáôá 1 - 
          5,  ãéá ôçí åðßëõóç ôïõ ðñïâëÞìáôïò áñxéêþí ôéìþí (ìå áñxéêÞ óõíèÞêç I (0) = 
              (Subscript[I, 0])),  âñßóêïõìå üôé ç Ýíôáóç ôïõ ñåýìáôïò,  äßíåôáé áðü ôç óxÝóç

                                                       I (t)=(Subscript[I, 0]) (E^(-(Rt/L))) + ((Subscript[E, 0])/R) (1 - (E^(-(Rt/L)))) + (((Subscript[E, 1]) (R cos (ωt) - R(E^(-(Rt/L))) + L ω sin (ωt)))/((R^2) + (L^2) (ω^2)))

                                                            = 
            ((Subscript[E, 0])/R) + ((Subscript[I, 0]) - ((Subscript[E, 0])/R) - 
                    (R/((R^2) + (L^2) (ω^2)))) (E^(-(Rt/L))) + (((Subscript[E, 1]) (R cos (ωt) + 
                          L ω sin (ωt)))/((R^2) + (L^2) (ω^2))) .    (ÐË)



ÁóõìðôùôéêÞ óõìðåñéöïñÜ ôçò ëýóçò:    Ôï ðáñÜäåéãìá áõôü ðáñïõóéÜæåé îåxùñéóôü åíäéáöÝñïí, êáèþò ç áóõìðôùôéêÞ óõìðåñéöïñÜ ôçò ëýóçò I (t), åßíáé ðïëý äéáöïñåôéêÞ áðü áõôÞ ôçò ëýóçò ôïõ ðáñáäåßãìáôïò 6.  Ðáñáôçñïýìå áðü ôçí (ÐË),  üôé ôï üñéï   (lim_(t -> ∞))I(t), äåí õðÜñxåé .  Èá ïñßóïõìå ìå âÜóç ôçí Ýíôáóç, ìéá íÝá ðïóüôçôá, ç ïðïßá , üðùò èá äïýìå, åìðëÝêåôáé óôçí ðåñéãñáöÞ ôçò áóõìðôùôéêÞò  óõìðåñéöïñÜò ôçò ëýóçò ôïõ ðñïâëÞìáôïò (ÐÅ1) .  Õðïëïãßæïõìå ðñþôá ôï ïëïêëÞñùìá ôçò Ýíôáóçò I (s), óå Ýíá äéÜóôçìá 0≤s≤t .  ' Exïõìå 

                  (∫_0^t) I (s) \[DifferentialD]s  =((Subscript[E, 0])/R) 
                  s - (L/R) ((Subscript[I, 0]) - ((Subscript[E, 0])/R) - 
                      (R/((R^2) + (L^2) (ω^2)))) (E^(-(Rt/L))) + ((Subscript[E, 1])/((R^2) + (L^2) (ω^2))) ((R/ω) 
                        sin (ωs) - L cos (ωs))(Subscript[|, s = 0]^(s = t))

                                    =((Subscript[E, 0])/R) t-(L/R) ((Subscript[I, 0]) - ((Subscript[E, 0])/R) - 
                    (R/((R^2) + (L^2) (ω^2)))) ((E^(-(Rt/L))) - 1)+((Subscript[E, 1])/((R^2) + (L^2) (ω^2)))((R/ω) sin (ωt) - 
                      L cos (ωt) + L).          (MT1)


Aí äéáéåñÝóïõìå ôï ïëïêëÞñùìá (ÌÔ1) ìå t,  ôüôå ëáìâÜíïõìå ôç óxÝóç

  \(\(\(I\_ì\)\&-\) \((t)\)\):=(1/t) (∫_0^t) 
                    I (s) \[DifferentialD]s =((Subscript[E, 0])/R)-(1/t) ((E^(-(Rt/L))) - 
                      1) (L/R) ((Subscript[I, 0]) - ((Subscript[E, 0])/R) - 
                      (R/((R^2) + (L^2) (ω^2))))+ (1/t)((R/ω) sin (ωt) - 
                      L cos (ωt) + L)((Subscript[E, 1])/((R^2) + (L^2) (ω^2))) ,

ç ïðïßá áíáðáñéóôÜ ôç ìÝóç Ýíôáóç (average of current)  ôïõ ñåýìáôïò óôï äéÜóôçìá [0, 
                t] .    Ðáñáôçñïýìå ôþñá üôé ôï üñéï ôçò ìÝóçò Ýíôáóçò õðÜñxåé êáé åßíáé 

                                                                                                       \(I\&-\):=(Underscript[lim \(\(I\_ì\)\&-\)(t)= , t -> ∞])(lim_(t -> ∞))(1/t) (∫_0^t) I (s) \[DifferentialD]s =((Subscript[E, 0])/R)                             (MT2)

êáé ïíïìÜæåôáé ìÝóç ïñéáêÞ Ýíôáóç.

Èá åðéëýóïõìå Ýíá óõãêåêñéìÝíï áñéèìçôéêü ðáñÜäåéãìá .  ÈÝôïõìå L = 5,  R = 2,  
      E (t) = 
        10 - 5  cos2t .  
              Eðéëýïõìå ìå xñÞóç ôïõ MÁTHEMATICA

DSolve[{5  y'[t] == -2 y[t] + 10 - 5  Cos[2  t], 
        y[0] == 1}, y[t], t]

v[
        t_] = -(1/52) (E^(-2 t/5)) (203 - 
            260 (E^(2 t/5)) + 
            5 (E^(2 t/5)) Cos[2 t] + 
            25 (E^(2 t/5)) Sin[2 t])

H ìÝóç Ýíôáóç õðïëïãßæåôáé áðü ôç óxÝóç (ÌÔ1)

meshv[
        t_] = ((1/t)) Integrate[v[s], {s, 0, t}] // Expand

Óôç óõíÝxåéá,  óxåäéÜæïõìå ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò

Plot[Evaluate[{v[t], meshv[t]}], {t, 0, 60}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 1], RGBColor[1, 0, 0]}, 
      Epilog -> {AbsoluteDashing[{6, 6}], Line[{{0, 5}, {60, 5}}]}, 
      PlotRange -> All]

B .  3. ÌÅÈÏÄÏÓ ÅÐÉËÕÓÇÓ ÃÉÁ ÔÉÓ ÐËÇÑÅÉÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÅÓ ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ

Ãéá ôçí åðßëõóç ôçò  äéáöïñéêÞò åîßóùóçò 
                                                                                                                 
                                                                                                      Ì (t, y) dt + N (t, y) dy = 0,         (ÐÄÅ)

áêïëïõèïýìå ôá ðáñáêÜôù âÞìáôá

                 ÂÇÌÁ 1.     ÅëÝãxoõìå ôç óõíèÞêç 
                                   
                                                                                                    ((∂Ì (t, y))/∂)y = ((∂ 
                  N (t, 
                  y))/∂)t  .                       (ÐÄ1)

                ÂÇÌÁ 2.   Ðñïóðáèïýìå íá õðïëïãßóïõìå ìéá óõíÜñôçóç L(t, y), ãéá ôçí ïðïßá éóxýåé

                                                                                                    ∂(L/∂)t = M    êáé  ∂(L/∂)y = 
          N  .                   (ÐÄ2)

             Ç óõíÜñôçóç L (t, 
          y),  äßíåôáé áðü ôçó óxÝóç

                                                                          L (t, y)=∫M \[DifferentialD]t+∫(N - ∫∂(Ì/∂)y \[DifferentialD]t)\[DifferentialD]y.       (ÐÄ3)


                 BHMA 3.      H ãåíéêÞ ëýóç ôçò äéáöïñéêÞò åîßóùóçò äßíåôáé áðü ôç óxÝóç

                                                                                                                          L (t, y)=C.

      ÏËÏÊËÇÑÙÔÉÊÏÉ ÐÁÑÁÃÏÍÔÅÓ: Áí ç äéáöïñéêÞ åîßóùóç äåí éêáíïðïéåß ôç óõíèÞêç (ÐÄ1), ðïëëáðëÜóéÜæïõìå ôç äéáöïñéêÞ åîßóùóç ìå ôïí ïëïêëçñùôéêü ðáñÜãïíôá


                                                                                                                        ì = (1/N) (∂(Ì/∂)y - ∂(N/∂)t),

áí ì åßíáé óõíÜñôçóç ôïõ t, äçëáäÞ ì = ì (t), Þ ðïëëáðëÜóéÜæïõìå ôç äéáöïñéêÞ åîßùóç ìå ôïí ïëïêëçñùôéêü ðáñÜãïíôá 


                                                                                                                         í = (1/N) (-∂(Ì/∂)y + ∂(N/∂)t),

áí í åßíáé óõíÜñôçóç ôïõ y, äçëáäÞ í=í(y).

ÐáñÜäåéãìá 11: Bñåßôå ôç ãåíéêÞ ëýóç ôçò äéáöïñéêÞò åîßóùóçò
                                                                                                       
                                                                                                            3  (t^2) (y^4) + 4  (t^3) (y^3) y' = 0. 

Ëýóç: ÖÝñíïõìå ôç äéáöïñéêÞ åîßóùóç óôç ìïñöÞ (ÐÄÅ), 

                                                                                                             3  (t^2) (y^4) dt + 4  (t^3) (y^3) dy = 
            0.     (11.1)

Bñßóêïõìå Ì = 3  (t^2) 
            (y^4) êáé Í = 
          4  (t^3) 
            (y^3) .  Ðáñáôçñïýìå üôé

                                                                                                                 ∂(Ì/∂)y=∂ (N/∂)t=12(t^2)(y^3),
Üñá éêáíïðïéåßôáé ç óõíèÞêç (ÐÄ1) áðü ôï ÂÇÌÁ 1.  Õðïëïãßæïõìå óôç óõíÝxåéá ôç óõíÜñôçóç L (t, y), xñçóéìïðïéþíôáò ôç óxÝóç (ÐÄ3), áðü ôï ÂÇÌÁ 2.  ' Åxïõìå

                                                                                  L (t, y)=∫M \[DifferentialD]t + ∫(N - ∫∂(Ì/∂)y \[DifferentialD]t) \[DifferentialD]y
                                                                                             =∫3  (t^2) (y^4) \[DifferentialD]t+∫(4  (t^3) (y^3)-∫12(t^2)(y^3)\[DifferentialD]t)\[DifferentialD]y

                                                                                           =(t^3) 
                      (y^4) + ∫(4  (t^3) (y^3) - 
                            4  (t^3) 
                              (y^3)) \[DifferentialD]y
                                                                                         
                                                                                          = (t^3) 
                    (y^4) . 


Áðü ôï ÂÇÌÁ 3, ç ãåíéêÞ ëýóç ôçò äéáöïñéêÞò åîßóùóçò äßíåôáé áðü ôç óxÝóç

                                                                                                                            (t^3) (y^4) = 
        C  .              (11.2)

Áí ç óôáèåñÜ ïëïêëÞñùóçò åßíáé C > 
        0,  âñßóêïõìå äõï ëýóåéò y ,  åðéëýïíôáò ôçí (11.2) ùò ðñïò y,  ãéá t > 
        0.  ÄçëáäÞ 

                                                                                                           y (t) = ±(C^((1/4))) 
          (t^(((-3)/4))), 
ïé ïðïßåò ïñßæïíôáé ìüíï ãéá t > 0. 


Áí ç óôáèåñÜ ïëïêëÞñùóçò åßíáé C < 
        0 ,  äçëáäÞ C = -(Subscript[C, 1]) ,  âñßóêïõìå ãéá t < 
        0,  ôéò ëýóåéò

                                                                                                               y (t) = ±((Subscript[C, 1])^((1/4))) (((-t))^(((-3)/4))) , 

ïé ïðïßåò  ïñßæïíôáé ìüíï ãéá   t < 
        0.        Aêïëïõèåß ï óxåäéáóìüò ôùí ïëïêëçñùôéêþí êáìðýëùí (11.2) ãéá äéÜöïñåò ôéìÝò ôéò óôáèåñÜò C.

Needs["Graphics`ImplicitPlot`"]

graph1 = 
      ImplicitPlot[{(t^3) (y^4) == -0.2, (t^3) (y^4) == 
            0.2, (t^3) (y^4) == -1.2, (t^3) (y^4) == 
            1.2, (t^3) (y^4) == -15, (t^3) (y^4) == 
            15}, {t, -10, 10}, {y, -10, 10}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 1], RGBColor[1, 0, 0], 
            RGBColor[1, 0, 1], RGBColor[1, 1, 0], RGBColor[0, 0, 0], 
            RGBColor[0, 1, 0]}, PlotPoints -> 300]

ÐáñÜäåéãìá 12: Bñåßôå ôç ãåíéêÞ ëýóç ôçò äéáöïñéêÞò åîßóùóçò
                                                                                                       
                                                                                           12  ty + 6  (y^2) + (3  (t^2) + 4  ty) y' = 0. 
                                                                                                            

Ëýóç: Óå áõôÞ ôçí ðåñßðôùóç, âñßóêïõìå üôé 
                      
                                                                                                   Ì=12ty+6 
                 (y^2)    êáé  Í=3  (t^2)+4ty. 

Ç óõíèÞêç (ÐÄ2) äåí éóxýåé êáèþò  

                                                                                                       ∂(Ì/∂)y=12  t + 12  y ≠ ∂ (N/∂)t=6  t+4y.
Ðáñáôçñïýìå üôé 

                                                                                                  ì=(1/N) (∂(Ì/∂)y - ∂(N/∂)t)=((6  t + 8  y)/(3(t^2)+4  ty))=(2/t) = ì (t) .           (12.1)

' 
                    Añá ç óõíÜñôçóç ì (ô) åßíáé ïëïêëçñùôéêüò ðáñÜãïíôá .  ÐïëëáðëáóéÜæïíôáò ôçí åîßóùóç ìå ì (t), ëáìâÜíïõìå

                                                                              (12  (t^3) y + 6  (t^2) (y^2)) 
            dt + (3  (t^4) y + 4  (t^3) y) dy = 
        d (3  (t^4) y + 
                2  (t^3) 
                  (y^2)) . 

H ðáñáðÜíù åîßóùóç åßíáé ðëÞñçò êáé ç ãåíéêÞ ëýóç ôçò åîßóùóçò,  äßíåôáé áðü ôç óxÝóç

                                                                                                               L (t, y) = 3  (t^4) y + 2  (t^3) (y^2) = 
            C .                                        (12.2)

Aêïëïõèåß  ôþñá, ï óxåäéáóìüò ôùí ïëïêëçñùôéêþí êáìðýëùí (12.2) ãéá äéÜöïñåò ôéìÝò ôéò óôáèåñÜò C.

graph1 = 
      ImplicitPlot[{3  (t^4) y + 2  (t^3) (y^2) == -5, 
          3  (t^4) y + 2  (t^3) (y^2) == 5, 
          3  (t^4) y + 2  (t^3) (y^2) == -8, 
          3  (t^4) y + 2  (t^3) (y^2) == 8, 
          3  (t^4) y + 2  (t^3) (y^2) == -15, 
          3  (t^4) y + 2  (t^3) (y^2) == 15}, {t, -10, 
          10}, {y, -4, 4}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 1], RGBColor[1, 0, 0], 
            RGBColor[1, 0, 1], RGBColor[1, 1, 0], RGBColor[0, 0, 0], 
            RGBColor[0, 1, 0]}, PlotPoints -> 300]

B .  4. ÌÅÈÏÄÏÓ ÅÐÉËÕÓÇÓ ÃÉÁ ÔÉÓ ÏÌÏÃÅÍÅÉÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÅÓ ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ

Ãéá ôçí åðßëõóç ôçò  äéáöïñéêÞò åîßóùóçò 
                                                                                                                 
                                                                                                      y' = F ((y/t)),         (ÏÅ)

áêïëïõèïýìå ôá ðáñáêÜôù âÞìáôá

                 ÂÇÌÁ 1.     Xñçóéìïðïéïýìå ôçí áíôéêáôÜóôáóç y=tz êáé y' = tz' + z, êáé ôç ìåôáôñÝðïõìå óôç äéáöïñéêÞ åîßóùóç
                                   
                                                                                                    tz' + z = 
        F (z) .                       (ÏÅ1)

                ÂÇÌÁ 2.   H åîßóùóç (ÏÅ1) åßíáé xùñéæùìÝíùí ìåôáâëçôþí

        

                 BHMA 3.     ÊÜíïõìå ôçí áíôéêáôÜóôáóç z=y/t,   êáé ëáìâÜíïõìå ìéá åîßóùóç ùò ðñïò y êáé t,  óå ðåðëåãìÝíç ìïñöÞ

ÐáñÜäåéãìá 13: Bñåßôå ôç ãåíéêÞ ëýóç ôçò äéáöïñéêÞò åîßóùóçò
                                                                                                       
                                                                                           y'=(((y^2) + 2  ty)/(t^2)).
                                                                                                            

Ëýóç: ÃñÜöïõìå ôçí åîßóùóç óôç ìïñöÞ

                                                                                              y'=(dy/dt) = ((((y/t)))^2) + 2  (y/t),                                     (13.1)

Üñá ðñÜãìáôé ç åîßóùóç åßíáé ïìïãåíÞò .   Xñçóéìïðïéïýìå ôï ìåôáóxçìáôéóìü áðü ôï ÂÇÌÁ 2,  êáé ç áñxéêÞ åîßóùóç ìåôáóxçìáôßæåôáé óôçí 

                                                                                                                      tz' + z = (z^2) + 2  z       

 Þ äéáöïñåôéêÜ óôçí åîßóùóç

                                                                                                                       tz' = 
          (z^2) + z .                                     (13.2)

Ðáñáôçñåßóôå üôé ïé z = 
        0, -1,  åßíáé ëýóåéò ôçò äéáöïñéêÞò åîßóùóçò (13.2) .   Ãéá z ≠ 0, 
      z ≠ -1,  êáé xùñßæïíôáò ôéò ìåôáâëçôÝò,  Ýxïõìå
                                                                                                                     (dt/t)  = (dz/(z (z + 1)))  = ((1/z) - 
                  (1/(z + 1))) 
              dz . 

 
                OëïêëÞñùóç êáé óôá äõï ìÝëç,  äßíåé ôç óxÝóç

                                                                                                 ln | t | +ln | c |  = 
          ln | z | -ln | z + 1 | ,            (13.3)

üðïõ c,  åßíáé ìáé áõèáßñåôç óôáèåñÜ .   Ç  (13.3),  äßíåé ôçí Ýêöñáóç

                                                                                                                         ct = (z/(z + 
                  1)) . 
         

TÝëïò,  áêïëïõèþíôáò ôï ÂÇÌÁ 3,  âñßóêïõìå üôé 

                                                                                                                      y (t) = 
          ((ct^2)/(1 - ct)),  
åßíáé ç ãåíéêÞ ëýóç ôçò äéáöïñéêÞò åîßóùóçò . 

OlïêëçñùôéêÝò êáìðýëåò áðåéêïíßæïíôáé óôï åðüìåíï óxÞìá

graph3 = 
      ImplicitPlot[{y (1 - 2  t) == 2  (t^2), 
          y (1 + 2  t) == -2 (t^2), 
          y (1 - 5  t) == 5  (t^2), 
          y (1 + 5  t) == -5 (t^2), 
          y (1 - 20  t) == 20  (t^2), 
          y (1 + 20  t) == -20 (t^2)}, {t, -10, 
          10}, {y, -4, 4}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 1], RGBColor[1, 0, 0], 
            RGBColor[1, 0, 1], RGBColor[1, 1, 0], RGBColor[0, 0, 0], 
            RGBColor[0, 1, 0]}, PlotPoints -> 300]

B .  5. ÌÅÈÏÄÏÓ ÅÐÉËÕÓÇÓ ÃÉÁ ÔÇ ÄÉÁÖÏÑÉÊÇ ÅÎÉÓÙÓÇ BERNOULLI

Ãéá ôçí åðßëõóç ôçò  äéáöïñéêÞò åîßóùóçò 
                                                                                                                 
                                                                                                                a (t) y' + b (t) y=c(t)(y^n),      n ≠ 0,1 ,       (BÅ)

áêïëïõèïýìå ôá ðáñáêÜôù âÞìáôá

                 ÂÇÌÁ 1.     ÃñÜöïõìå ôç äéáöïñéêÞ åîßóùóç óôç ìïñöÞ 
                                   
                                                                                                                 y' + p (t) y=q(t)(y^n)                     (BÅ1)

                ÂÇÌÁ 2.   Xñçóéìïðïéþíôáò ôï ìåôáóxçìáôéóìü  u=(y^(n - 1)),  ç åîßóùóç   (ÂÅ1),   ìåôáôñÝðåôáé óôç ãñáììéêÞ åîßóùóç ðñþôçò ôÜîçò
                                                  
                                                                                                             u'+(1 - n)p(t)u=(1-n)q(t)    
        

                 BHMA 3.     Õðïëïãßæïõìå ôïí ïëïêëçñùôéêü ðáñÜãïíôá     

                                                                                                              ì (t)= exp((1 - 
                      n) ∫p (t) \[DifferentialD]t).
         
          BHMA 4.  Õðïëïãßæïõìå ôï    ïëïêëÞñùìá

                                                                                                                ∫(1 - n)ì(t)q(t)\[DifferentialD]t.

          BHMA 5.  Ç ëýóç  äßíåôáé áðü ôïí ôýðï

                                                                                                          y (t) = ((((1/(ì (t))) (C + ∫ì (t) (1 - n) q (t) \[DifferentialD]t)))^((1/(1 - n)))),
                                     
                              üðïõ C åßíáé áõèáßåñåôç óôáèåñÜ ïëïêëÞñùóçò.

ÐáñÜäåéãìá 14: Bñåßôå ôç ëýóç ôïõ ðñïâëÞìáôïò áñxéêþí  ôéìþí
                                                                                                       
                                                                                           (t^2) y'+2ty=(y^3),        y (1) = 1
                                                                                                            

Ëýóç: H åîßóùóç åßíáé Âernoulli, ìå n = 
            3.  Xñçóéìïðïéïýìå ôï ìåôáóxçìáôéóìü áðü ôï ÂÇÌÁ 2,  
 u=(y^(-2))     êáé ìåôáôñÝðïõìå ôçí áñxéêÞ åîßóùóç óôçí 

                                                                                                                 u' - 4  (t^(-1)) u + 2  (t^(-2)),      (14.1)

ç ïðïßá åßíáé ãñáììáéêÞ .  Ï ïëïêëçñùôéêüò ðáñÜãùíôáò åßíáé ì (t) = (t^(-4)), êáé ç ëýóç ôçò (14.1)  åßíáé ç

                                                                                                                u=(y^(-2))=(2/5) (t^(-1)) + 
                (Ct^4) .      (14.2)


                                                                               
Xñçóéìïðïéþíôáò ôçí áñxéêÞ óõíèÞêç, y (1) = 1, âñßóêïõìå ôç óôáèåñÜ C = 
            3/5 êáé ëýíïíôáò ôç (14.2) ùò ðñïò   y, âñßóêïõìå

                                                                                                                     y = (((((5  t)/(2 + 3  (t^5)))))^((1/2))).

Ëýíïõìå óôç óõíÝxåéá ôï ðñüâëçìá ìå ôï MATHEMATICA,ìå ôçí åíôïëÞ DSolve, áëëÜ êáé êáôáóêåõÜæïíôáò êáé áñéèìçôéêÞ ðñïóÝããéóç ôçò ëýóçò ìå ôçí åíôïëÞ NDSolve, ãéá ôç óýãêñéóç ôùí áðïôåëåóìÜôùí

DSolve[{(t^2)*y'[t] + 2*t*y[t] - y[t]^3 == 0, 
        y[1] == 1}, y[t], t]

Ber1 = 
      NDSolve[{(t^2)*y'[t] + 2*t*y[t] - y[t]^3 == 0, 
          y[1] == 1}, y[t], {t, 0.001, 10}]

Plot[
      y[t] /. Ber1, {t, 0.001, 
        10}, 
PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 
            1]}]

BerR = 
      Plot[(((((5  t)/(2 + 3  (t^5)))))^((1/2))), {t, 0.001, 10}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0]}]

Ç äéáöïñéêÞ åîßóùóç Bernoulli Ýéíáé xáñáêôçñéóôiêÞ ðåñßðôùóç ìç - ãñáììéêÞò äéáöïñéêÞò åîßóùóçò ìå ìç - óôáèåñïýò óõíôåëåóôÝò, ãéá ôçí ïðïßá äßíåôáé ìÝèïäïò åðßëõóçò .  Ðñïêýðôåé óå óçìáíôéêÝò åöáñìïãÝò,áðü ôç äõíáìéêÞ ôùí ðëçèõóìþí ùò êáé ôç äõíáìéêÞ ôùí ñåõóôþí .  Ç ìÝèïäïò åðßëõóçò äüèçêå áðü ôïí Leibniz ôï 1696.