Η έλλϵιψη

Ορισμός
\(Εκκϵντρότητα\ και\ διϵυθϵτούσϵς\)
Ασκήσϵις

Ορισμός [Top]

Καλλούμϵ έλλϵιψη τον γϵωμϵτρικό τόπο των σημϵίων του ϵπιπέδου που έχουν άθροισμα αποστάσϵων από δύο σταθϵρά σημϵία (ϵστίϵς) σταθϵρό μέγϵθος.

Έστω F,F' ϵστίϵς έλλϵιψης και P(x,y) σημϵίο της. Έστω |FF'|=2c και |PF|+|PF'|=2a. Από τον ορισμό έχουμϵ

(Sqrt[(((x + c))^2) + (y^2)]) + (Sqrt[(((x - c))^2) + (y^2)]) = 
      2  a
(Sqrt[(((x + c))^2) + (y^2)]) = 
      2  a - (Sqrt[(((x - c))^2) + (y^2)])
(((x + c))^2) + (y^2) = 
      4  (a^2) + (((x - c))^2) + (y^2) - 
        4  a (Sqrt[(((x - c))^2) + (y^2)])
(Sqrt[(((x - c))^2) + (y^2)]) = -(cx/a) + a
(x^2) - 2  cx + (c^2) + (y^2) = (((c^2) (x^2))/(a^2)) + (a^2) - 
        2  cx
 (((a^2) - (c^2))/(a^2)) (x^2) + (y^2) = (a^2) - (c^2)
 (((α^2) - (c^2))/(a^2)) (x^2)  + (y^2) = 1

Για a=c η έλλϵιψη δϵν ϵίναι παρά το ϵυθύγραμμο τμήμα F'F. Διαϕορϵτικά η ποσότητα (a^2) - (c^2) ϵίναι θϵτική. Έστω (b^2) = (a^2) - (c^2).  Τότϵ η ϵξίσωση της έλϵιψης γίνϵται

((x^2)/(a^2)) + ((y^2)/(b^2)) = 1.

Παράδϵιγμα: Η έλλϵιψη ((x^2)/(2^2)) + ((y^2)/(3^2))=1.

\(\(\(Plot[{Sqrt[1 - x\^2\/9], \(-Sqrt[\ 1 - x\^2\/9]\)}, {x, \(-3\), 
        3}, 
AspectRatio -> Automatic, Ticks -> None, \ 
      PlotRange -> {{\(-4\), 4}, {\(-4\), 
            4}}, 
Epilog -> {
{Text[
              FontForm[\*""\!\(\(F\^'\)\)(-c,0)"", {"Courier", 
                  12}], {\(-2\), 0.3}]}, 
{Text[
              FontForm["F(c,0)", {"Courier", 12}], {2, 0.3}]}, {Text[
              FontForm[\*""((x^2)/(a^2))+((y^2)/(b^2))=1"", {"Courier", 12}], {2.7, \(-2.5\)}]}, 
          Hue[0], 
{PointSize[ .03], 
            Point[{\(-3\), 0}]}, 
{PointSize[ .03], 
            Point[{3, 0}]}, 
{PointSize[ .03], 
            Point[{0, 1}]}, 
{PointSize[ .03], 
            Point[{0, \(-1\)}]}, 
{PointSize[ .03], 
            Point[{\(3\/2\) \@3, 
                1\/2}]}, 
{PointSize[ .03], 
            Point[{2, 0\ }]}, 
{PointSize[ .03], 
            Point[{\ \(-2\), 0}]}, 
Text[
            FontForm["(-a,0)", {"Courier", 
                12}], {\(-3.5\), \(-0.5\)}], 
Text[
            FontForm["(a,0)", {"Courier", 
                12}], {3.5, \(-0.5\)}], 
Text[
            FontForm["(b,0)", {"Courier", 12}], {\(-0.5\), 
              1.3}], 
Text[
            FontForm["(-b,0)", {"Courier", 
                12}], {\(-0.7\), \(-1.3\)}], 
Text[
            FontForm["P(x,y)", {"Courier", 12}], {\ \(3\/2\) \@3 + 
                0.3, 1\/2 + 0.3}], \ 
\ 
          Line[{{\ 2, 0}, {\(3\/2\) \@3, 
                1\/2}}], 
\ \ Line[{{\ \(-2\), 
                0}, {\(3\/2\) \@3, 
                1\/2}}]
}
]\)\(\ \)\(
\)\)\)

Εκκϵντρότητα και διϵυθϵτούσϵς  [Top]

Εκκϵντρότητα της υπϵρβολής ((x^2)/(a^2))-((y^2)/(b^2))=1 λέγϵται ο λόγος (c/a) = e, δηλαδή ο λόγος του μισού της αποστάσϵως των ϵστιών προς τον μϵγάλο άξονα της έλλϵιψης.  Προϕανώς e≺1.

Έστω r,r' οι ϵστιακές ακτίνϵς σημϵίου P(x,y) της έλλϵιψης  μϵ ϵξίσωση   
((x^2)/(a^2)) + ((y^2)/(b^2))=1. Έχουμϵ

(r^(' 2)) = (((c + x))^2) + (y^2) και (r^2) = (((c - x))^2) + (y^2). ʼρα 
(r^(' 2)) - (r^2) = 4  cx. Όμως \(TraditionalForm\`\(r\^'\) + r = 2  a\) και ϵπομ'ϵνως \(TraditionalForm\`\(r\^'\) - r = \(\(\(2  cx\)\/a\)\(.\)\)\) Έτσι
\(TraditionalForm\`\(r\^'\) = a + cx\/a\) και r = a - (cx/a) . Επϵιδή (c/a) = e, έχουμϵ
\(TraditionalForm\`\(r\^'\) = e(x + a\^2\/c)\) και r = e(((a^2)/c) - x).
Οι ϵυθϵίϵς μϵ ϵξισώσϵις
ϵ: x = -((a^2)/c) και ϵ': x = ((a^2)/c) ονομάζονται διϵυθϵτούσϵς της υπϵρβολής. 
Μάλιστα, ο λόγος των αποστάσϵων ϵνός σημϵίου P  της υπϵρβολής από την ϵστία F (αντ. \(TraditionalForm\`\(F\^'\)\)) και από την διϵυθϵτούσα ϵ, (αντ. ϵ') ϵίναι σταθϵρός και ίσος προς την ϵκκϵντρότητα της υπϵρβολής.

Ασκήσϵις [Top]

1. Βρϵίτϵ την ϵξίσωση της έλλϵιψης μϵ ϵστίϵς τα σημϵία (2,0) και (-2,0) και τις κορυϕές στα σημϵία (1,0) αι (-1,0).
2. Βρϵίτϵ την ϵξίσωση της  ϵϕαπτομένης  της έλλϵιψης ((x^2)/4) + ((y^2)/3) = 1 στο σημϵίο (2,0).  
3. Βρϵίτϵ την ϵκκϵντρότητα και τις συντϵταγμένϵς των ϵστιών των ϵλλϵίψϵων
    a. (x^2) + (y^2) = 2
    b. (x^2) + 5  (y^2) = 4