Η παραβολή

Ορισμός
Γνωστά Παραδϵίγματα
Η ϵξίσωση της παραβολής
Κατασκϵυή παραβολής διϵρχόμϵνης από τρία σταθϵρά σημϵία
Ασκήσϵις

Ορισμός [Top]

Καλούμϵ παραβολή το γϵωμϵτρικό τόπο των σημϵίων του ϵπιπέδου των οποίων οι αποστάσϵις από ένα σταθϵρό σημϵίο E (ϵστία) και μία σταθϵρή ϵυθϵία δ (διϵυθϵτούσα) ϵίναι ίσϵς.

Γνωστά παραδϵίγματα  [Top]

Τα πιο γνωστά παραδϵίγματα παραβολών αποτϵλούν η συνάρτηση  y = (x^2) και η καμπλύλη (y^2) = x η οποία δϵν ϵίναι παρά  μία στροϕή της προηγούμϵνης συνάρτησης κατά (90^0).

Plot[x^2, {x, -1, 1}, Ticks -> True, PlotStyle -> Red, 
        AspectRatio -> Automatic];

Plot[{2  Sqrt[x], -2 Sqrt[x]}, {x, 0, 
        5}, 
Ticks -> True, 
      PlotStyle -> Red]

Η ϵξίσωση της παραβολής [Top]

Έστω δ διϵυθϵτούσα, η οποία τέμνϵι τον άξονα των x στο σημϵίο Δ(-p/2,0) και ϵστία
E(p/2,0), Χωρίς βλάβη της γϵνικότητας υποθέτουμϵ ότι p>0. Έστω M(x,y) σημϵίο της παραβολής. Από τον ορισμό οι αποστάσϵις ΔΜ και ΜΕ ϵίναι ίσϵς:

𝔼𝕄=𝕄𝔽 𝕖 \(TraditionalForm\`\((𝓍 + 𝓅/2)\)\^2 + \((𝓎 - 𝓎)\)^2 = \((𝓍 - 𝓅/2)\)^2 + 𝓎^2\) 𝕖

(𝓍^2) + 𝓅𝓍 + (𝓅^2)/
            4 = (𝓍^2) - 𝓅𝓍 + (𝓅^2)/
            4 + 𝓎^2  𝕖  (𝓎^2) = 2  𝓅𝓍 𝕨𝕧õ 𝕝𝕗𝕥𝕙𝕡 𝕟 𝕝𝕦𝕗𝕫ù𝕫𝕟 ô𝕟𝕪 𝕨𝕙𝕩𝕙𝕚𝕧𝕣𝕖𝕪. 𝕌𝕧 𝕨𝕙𝕩𝕙𝕢𝕔ôù 𝕨𝕩ü𝕛𝕩𝕙𝕤𝕤𝕙 ÷𝕩𝕟𝕫𝕡𝕤𝕧𝕨𝕧𝕡𝕖𝕠𝕟𝕢𝕝 𝕛𝕡𝕙 ô𝕟 𝕜𝕟𝕤𝕡𝕧õ𝕩𝕛𝕝𝕗𝕙 ô𝕧õ 𝕨𝕙𝕩𝕙𝕨𝕔𝕥ù 𝕫÷𝕖𝕤𝕙ô𝕧𝕪.

\(\(\(\ \)\(
\)\(Plot[{Sqrt[x], \(-Sqrt[x]\)}, {x, 0, 4}, 

      AspectRatio -> Automatic, Ticks -> None, PlotStyle -> Blue, 
      PlotRange -> {{\(-4\), 4}, {\(-4\), 
            4}}, 
Epilog -> {{Text[
              FontForm["E(p/2,0)", {"Courier", 
                  12}], {1,  .4}]}, {Text[
              FontForm[\*""(y^2)=2px"", {"Courier", 
                  12}], {2.7, \(-2.5\)}]}, 
          Hue[0], 
{Text[
              FontForm["Ä(-p/2,0)", {"Courier", 
                  12}], {\(-1.3\),  .5}]}, 
\ 
          Line[{{\(-1\)/2, \(-4\)}, {\(-1\)/2, 
                4}}], 
{PointSize[ .03], 
            Point[{\(-1\)/2, 0}]}, 
{PointSize[ .03], 
            Point[{1/2, 0}]}, 
          Text[FontForm["M(x,y)", {"Courier", 12}], {1.7^2, 
              2.2}], {PointSize[ .03], 
            Point[{1.7^2, 1.7}]}, 
\ \ \ Line[{{\(-1\)/2, 
                1.7}, {1.7^2, 1.7}}], 
Line[{{1/2, 
                0}, {1.7^2, 
                1.7}}]
}
]\)\(
\)\(		\)\)\)

Κατασκϵυή παραβολής διϵρχόμϵνης από τρία σταθϵρά σημϵία  [Top]

Πρόβλημα: Βρϵίτϵ την παραβολή που διέρχϵται από τα σημϵία  (0, 2), (-1, 5)  και  (7, 8).  
Λύση: Απϵικονίζουμϵ τα παραπάνω σημϵία στο ϵπίπϵδο.

\(\(dots\  = \ 
        ListPlot[{{0, 2}, {\(-1\), 5}, {7, 
              8}}, 
									PlotStyle -> {Blue, \ 
              PointSize[ .03]}];\)\)

Το πολυώνυμο που θέλουμϵ να κατασκϵυάσουμϵ ϵίναι της μορϕής   p(x)  =  a  +  b x  +  c (x^2).  Τα παραπάνω σημϵία αποτϵλούν λύσϵις της ϵξίσωσης y=p(x):

2  =  a  +  b*0  +  c*(0^2)
5  =  a  +  b*-1  +  c*(((-1))^2)
8  =  
        a  +  b*7  +  c*(7^(2  ))

Μϵ χρήση της συνάρτησης Solve του Mathematica, λύνουμϵ το παραπάνω σύστημα:

\(Solve[{2\  == \ \ \ a\  + \ b*0\  + \ 
            c*0\^2, 
	\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5\  == \ \ \ a\  + \ 
            b*\((\(-1\))\)\  + \ 
            c*\((\(-1\))\)\^2, 
	\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 8\  == \ \ \ a\  + \ b*7\  + \ c*7\^2}, {a, b, c}]\)

Έτσι   p(x)  =  
        2  -  (141/56) x  +  (27/56) (x^2).  Η γραϕική παράσταση τηςπαραβολής ϵίναι:

parabola  =  
      Plot[2  -  (141/56) x  +  (27/56) x^2,  {x,  -2,  
          8}, PlotStyle -> Red]
Show[dots, parabola]

Ασκήσϵις   [Top]
1. Δίνονται τα σημϵία (1,2),(2,2) και (4,5). Να σχϵδιάσϵτϵ την παραβολή που διέρχϵται από αυτά.
2.  Παριστάνϵι η ϵξίσωση (x^2) + 2  y + xy - 4 = 0 παραβολή; Αν ναι, υπολογίστϵ την ϵκκϵντρότητά της, την ϵστία της και δώστϵ την ϵξίσωση της διϵυθϵτούσας.
3. Να βρϵθϵί η ϵξίσωση της παραβολής μϵ ϵστία το σημϵίο (4,0) και ϵκκϵντρότητα ίση προς 2.
4. Να βρϵθϵί η ϵξίσωση της παραβολής μϵ ϵστία το σημϵίο (5,0) και διϵυθϵτούσα την ϵυθϵία x=-5.