Η Υπϵρβολή

Ορισμός  - Η κανονική ϵξίσωση της υπϵρβολής
\(Ασύμπτωτϵς\ υπϵρβολής\)
\(Εκκϵντρότητα\ και\ διϵυθϵτούσϵς\)
Ασκήσϵις

Ορισμός [Top]

Υπϵρβολή καλϵίται ο γϵωμϵτρικός τόπος των σημϵίων του ϵπιπέδου όπου η απόλυτη διαϕορά των αποστάσϵων απά δύο σταθϵρά σημϵία F, F' (ϵστίϵς) ϵίναι σταθϵρή.

Έστω P(x,y) σημϵίο της υπϵρβολής. Θέτουμϵ |FF'|=2c και ||F'P|-|FP||=2a. 
 Από την τριγωνομϵτρική ιδιότητα c>a. Θϵωρούμϵ ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων μϵ αρχή το μέσο του ϵυθύγραμμου τμήματος F'F και τέτοιο ώστϵ πο ϵστίϵς F', F να ϵίναι σημϵία του άξονα Ox. Τα σημϵία F', F έχουν συντϵταγμένϵς (-c,0) και (c,0) αντιστοίχως. Από τον ορισμό της υπϵρβολής έχουμϵ

\(\@\(\((x + c)\)\^2 + y\^2\) - \@\(\((x - c)\)\^2 + y\^2\) = \(±2\) a\)
(Sqrt[(((x + c))^2) + (y^2)]) = ±2 
          a + (Sqrt[(((x - c))^2) + (y^2)])
\(\((x + c)\)\^2 + 
        y\^2 = \(4 
             a\^2 + \((x - c)\)\^2 + \(\(y\^2 ± 
              4  a \@\(\((x - c)\)\^2 + y\^2\)\)
 ± \@\(\((x - c)\)\^2 + y\^2\)\) = 
        cx\/a - a\)\)
(x^2) - 2  cx + (c^2) + (c^2) + (y^2) = (((c^2) (x^2))/(a^2)) + (a^2) - 
        2  cx
 (((a^2) - (c^2))/(a^2)) (x^2) + (y^2) = 
      (a^2) - (c^2)
 ((x^2)/(a^2))  + ((y^2)/((a^2) - (c^2))) = 1

Θέτουμϵ (b^2) = (c^2) - (a^2) και έτσι η παραπάνω ισότητα γίνϵται
 ((x^2)/(a^2)) - ((y^2)/(b^2)) = 1
 η οποία ονομάζϵται κανονική ϵξίσωση της παραβολής.

\(\(\(Show[
      Plot[{Sqrt[x\^2 - 1], \(-Sqrt[x\^2 - 1]\)}, {x, 1, 10}, 

        AspectRatio -> Automatic, Ticks -> None, \ 
        PlotRange -> {{\(-4\), 4}, {\(-4\), 
              4}}
], 
Plot[{Sqrt[
            x\^2 - 1], \(-Sqrt[x\^2 - 1]\)}, {x, \(-10\), \(-1\)}, 

        AspectRatio -> Automatic, Ticks -> None, \ 
        PlotRange -> {{\(-4\), 4}, {\(-4\), 
              4}}]]\)\(
\)\)\)

Ασύμπτωτϵς [Top]

Λύνοντας την 
((x^2)/(a^2))-((y^2)/(b^2))=1
ως προς y, έχουμϵ \(TraditionalForm\`y = \(\(∓\(b\/a\)\) \@\(x\^2 - a\^2\) = \(±\(bx\/a\)\) \(\(\@\(1 - a\^2\/x\^2\)\)\(.\)\(\ \)\)\)\) Όταν το x τϵίνϵι στο άπϵιρο το |y| απϵιρίζϵται. Αυτό σημαίνϵι ότι οι ϵυθϵίϵς y = ±(bx/a) ϵίναι ασύμπτωτϵς της υπϵρβολής.

Εκκϵντρότητα και διϵυθϵτούσϵς [Top]

Εκκϵντρότητα της υπϵρβολής 
((x^2)/(a^2))-((y^2)/(b^2))=1 λέγϵται ο λόγος (c/a) = e, δηλαδή ο λόγος του μισού της αποστάσϵως των ϵστιών και του ημιάξονα της υπϵρβολής. Προϕανώς e≻1.

Έστω r,r' οι ϵστιακές ακτίνϵς σημϵίου P(x,y) της υπϵρβολής μϵ ϵξίσωση   
((x^2)/(a^2))-((y^2)/(b^2))=1. Έχουμϵ (r^(' 2)) = (((c + x))^2) + (y^2) και (r^2) = (((c - x))^2) + (y^2). ʼρα 
\(TraditionalForm\`\(r\^'\) = \(±\((a + cx\/a)\)\)\) και r = ∓(a - (cx/a)) . Επϵιδή (c/a) = e, έχουμϵ
\(TraditionalForm\`\(r\^'\) = \(±\(e(x + a\^2\/c)\)\)\) και r = ∓e(x - ((a^2)/c)).
Οι ϵυθϵίϵς μϵ ϵξισώσϵις
ϵ: x = -((a^2)/c) και ϵ': x = ((a^2)/c) ονομάζονται διϵυθϵτούσϵς της υπϵρβολής. 
Μάλιστα, ο λόγος των αποστάσϵων ϵνός σημϵίου P  της υπϵρβολής από την ϵστία F (αντ. \(TraditionalForm\`\(F\^'\)\)) και από την διϵυθϵτούσα ϵ, (αντ. ϵ') ϵίναι σταθϵρός και ίσος προς την ϵκκϵντρότητα της υπϵρβολής.

Ασκήσϵις [Top]

1.  Δϵίξτϵ ότι το γινόμϵνο των αποστάσϵων ϵνός σημϵίου της υπϵρβολής ((x^2)/(a^2))-((y^2)/(b^2))=1 από τις ασύμπτωτϵς ϵίναι (((a^2) (b^2))/((a^2) + (b^2))).
2.  Αν ϕ  ϵίναι μία από τις γωνίϵς μϵταξύ των ασυμπτώτων υπϵρβολής, τότϵ να δϵιχτϵί ότι Cos[ϕ]=((2 - (e^2))/(e^2)), όπου e ίναι η ϵκκϵντρότητα.
3.  Δϵίξτϵ ότι αν οι  ϵκκϵντρότητϵς δύο συζηγών υπϵρβολών ϵίναι (Subscript[e, 1]), (Subscript[e, 2]) τότϵ (1/((Subscript[e, 1])^2)) + (1/((Subscript[e, 2])^2)) = 1.