Γραϕήματα και ϵξισώσϵις

ℚ𝕝𝕩𝕡𝕝÷ü𝕤𝕝𝕥𝕙

ℚ𝕧𝕣õþ𝕥õ𝕤𝕙
𝔽𝕦𝕡𝕫þ𝕫𝕝𝕡𝕪
\(𝕃ý𝕫𝕝𝕡𝕪\ 𝕝𝕦𝕡𝕫þ𝕫𝕝ù𝕥\)
    ℚ𝕩ùô𝕧𝕚𝕔𝕠𝕤𝕡𝕝𝕪 𝕝𝕦𝕡𝕫þ𝕫𝕝𝕡𝕪
    𝕌𝕩𝕡þ𝕥õ𝕤𝕧
    𝕋õ𝕫ô𝕖𝕤𝕙ô𝕙 𝕝𝕦𝕡𝕫þ𝕫𝕝ù𝕥 𝕤𝕝 𝕜ý𝕧 𝕙𝕛𝕥þ𝕫ô𝕧õ𝕪
𝔻𝕝𝕥𝕡𝕢𝕝õ𝕤𝕕𝕥𝕙 𝕫õ𝕫ô𝕖𝕤𝕙ô𝕙 𝕝𝕦𝕡𝕫þ𝕫𝕝ù𝕥
𝔻𝕩𝕙ö𝕖𝕤𝕙ô𝕙
ℚ𝕙𝕩𝕙𝕤𝕝ô𝕩𝕡𝕢𝕕𝕪 𝕝𝕦𝕡𝕫þ𝕫𝕝𝕡𝕪
𝕌𝕙õôü÷𝕩𝕧𝕥𝕧𝕪 𝕫÷𝕝𝕜𝕡𝕙𝕫𝕤ü𝕪 𝕛𝕩𝕙ö𝕟𝕤𝕔ôù𝕥
\(ℚ𝕙𝕩𝕙𝕜𝕝𝕗𝕛𝕤𝕙ô𝕙\ 𝕝𝕡𝕜𝕡𝕢þ𝕥\ 𝕫õ𝕥𝕙𝕩ô𝕖𝕫𝕝ù𝕥\)
     ℚ𝕧𝕣ù𝕥õ𝕤𝕡𝕢𝕕𝕪
     ℝ𝕟ô𝕕𝕪
     𝕌𝕩𝕡𝕛ù𝕥𝕧𝕤𝕝ô𝕩𝕡𝕢𝕕𝕪
     𝔽𝕢𝕠𝕝ô𝕡𝕢𝕕𝕪
     𝕃𝕧𝕛𝕙𝕩𝕡𝕠𝕤𝕡𝕢𝕕𝕪
ℙ𝕩𝕡𝕫𝕤ü𝕪 𝕫õ𝕥𝕔𝕩ô𝕟𝕫𝕟𝕪
\(𝔼𝕟𝕤𝕡𝕧õ𝕩𝕛𝕗𝕙\ 𝕢𝕗𝕥𝕟𝕫𝕟𝕪\)
𝔹𝕫𝕢𝕖𝕫𝕝𝕡𝕪

ℚ𝕧𝕣õþ𝕥õ𝕤𝕙 [Top]

𝕄𝕗𝕙 𝕕𝕢ö𝕩𝕙𝕫𝕟 𝕙𝕨𝕧ô𝕝𝕣𝕧ý𝕤𝕝𝕥𝕟 𝕙𝕨ü 𝕙𝕠𝕩𝕧𝕗𝕫𝕤𝕙ô𝕙 𝕛𝕡𝕥𝕧𝕤𝕕𝕥ù𝕥 𝕙𝕩𝕡𝕠𝕤þ𝕥 𝕤𝕝 𝕠𝕝ô𝕡𝕢𝕕𝕪 𝕜õ𝕥𝕔𝕤𝕝𝕡𝕪 𝕤𝕝ô𝕙𝕚𝕣𝕟ôþ𝕥 𝕧𝕥𝕧𝕤𝕕𝕞𝕝ô𝕙𝕡 𝕨𝕧𝕣õþ𝕥õ𝕤𝕧.

({{\(ℚ𝕙𝕩𝕙𝕜𝕝𝕗𝕛𝕤𝕙ô𝕙\ ℚ𝕧𝕣õù𝕥ý𝕤ù𝕥\), \(𝕌𝕩ü𝕨𝕧𝕪\ 𝕝𝕡𝕫𝕙𝕛ù𝕛𝕖𝕪\ ô𝕧õ𝕪\ 𝕫ô𝕧\ \ ℳ𝒶𝓉𝒽ℯ𝓂𝒶𝓉𝒾𝒸𝒶\)}, {𝔽õ𝕠𝕝𝕗𝕙  A  x + B  y + C, A x  +  B y  +  C}, {ℚ𝕙𝕩𝕙𝕚𝕧𝕣𝕖  𝒜(𝓍^2)+B  x  y+C  (y^2)+D  x+E  y+F,  A x^2  +  B x y  +  
                  C y^2 + D x + E y  + F}})

A x  +  B y  + C

𝔽𝕦𝕡𝕫þ𝕫𝕝𝕡𝕪 [Top]

𝕄𝕗𝕙 𝕝𝕦𝕗𝕫ù𝕫𝕟 𝕜ý𝕧 𝕤𝕝ô𝕙𝕚𝕣𝕟ôþ𝕥 𝕝𝕗𝕥𝕙𝕡 𝕤𝕗𝕙 𝕕𝕢ö𝕩𝕙𝕫𝕟 ô𝕟𝕪 𝕤𝕧𝕩ö𝕖𝕪  f(x, y) = 0.

𝕃ý𝕫𝕝𝕡𝕪 𝕝𝕦𝕡𝕫þ𝕫𝕝ù𝕥 [Top]

𝕌𝕧  Mathematica 𝕨𝕙𝕩𝕕÷𝕝𝕡 𝕜ý𝕧 𝕫õ𝕥𝕙𝕩ô𝕖𝕫𝕝𝕡𝕪 𝕤𝕝 ô𝕟 𝕚𝕧𝕖𝕠𝕝𝕡𝕙 ôù𝕥 𝕧𝕨𝕧𝕗ù𝕥 𝕤𝕨𝕧𝕩𝕧ý𝕤𝕝 𝕥𝕙 𝕣ý𝕫𝕧õ𝕤𝕝 𝕫õ𝕫ô𝕖𝕤𝕙ô𝕙 𝕝𝕦𝕡𝕫þ𝕫𝕝ù𝕥. ℙ𝕡 𝕫õ𝕥𝕙𝕩ô𝕖𝕫𝕝𝕡𝕪 𝕙õô𝕕𝕪 𝕝𝕗𝕥𝕙𝕡 𝕧𝕡  Solve 𝕢𝕙𝕡 ô𝕧 𝕙𝕩𝕡𝕠𝕤𝕟ô𝕡𝕢ü 𝕙𝕥ô𝕗𝕫ô𝕧𝕡÷ü ô𝕟𝕪 NSolve.

𝕃ý𝕫𝕟 ô𝕟𝕪 𝕝𝕦𝕗𝕫ù𝕫𝕟𝕪 a  x + b = 0. [Top]

ℍ 𝕝𝕦𝕗𝕫ù𝕫𝕟  a  x + b = 0 𝕕÷𝕝𝕡 𝕤𝕧𝕥𝕙𝕜𝕡𝕢𝕖 𝕣ý𝕫𝕟 ô𝕟𝕥   x = -b/a 𝕙𝕥 ô𝕧  a 𝕝𝕗𝕥𝕙𝕡 𝕜𝕡𝕙ö𝕧𝕩𝕧 ô𝕧õ 𝕤𝕟𝕜𝕝𝕥ü𝕪. ¸÷𝕝𝕡 𝕔𝕨𝕝𝕡𝕩𝕝𝕪 𝕣ý𝕫𝕝𝕡𝕪 𝕙𝕥 αν   a = 0 𝕢𝕙𝕡  b = 0 𝕢𝕙𝕡 𝕝𝕗𝕥𝕙𝕡 𝕙𝕜ý𝕥𝕙ô𝕟 𝕫𝕝 𝕜𝕡𝕙ö𝕧𝕩𝕝ô𝕡𝕢𝕖 𝕨𝕝𝕩𝕗𝕨ôù𝕫𝕟.

ℚ𝕙𝕩𝕔𝕜𝕝𝕡𝕛𝕤𝕙: 𝕃ý𝕫ô𝕝 ô𝕟𝕥 𝕝𝕦𝕗𝕫ù𝕫𝕟 4x-5=0.

Clear[x];
Solve[4x-5==0,x]
NSolve[4x-5==0,x]

FindRoot[(x^2) - 3  x + 10 == 92, {x, 1}]

𝕌𝕩𝕡þ𝕥õ𝕤𝕧 [Top]

ℍ 𝕝𝕦𝕗𝕫ù𝕫𝕟  ((𝕙𝓍)^2)+𝒷𝓍+𝒸=0 𝕕÷𝕝𝕡 𝕜ý𝕧 𝕣ý𝕫𝕝𝕡𝕪 𝕛𝕡  𝕙 ≠ 0, ô𝕡𝕪

x=((-b ± (Sqrt[(b^2) - 4  a  c]))/(2  a)).

ℚ𝕙𝕩𝕔𝕜𝕝𝕡𝕛𝕤𝕙: 𝕃ý𝕫ô𝕝 ô𝕟𝕥 𝕝𝕦𝕗𝕫ù𝕫𝕟 5(x^2)+9  x-5=0.

Clear[x];
Solve[5x^2+9x-6==0,x]

𝕋ý𝕫ô𝕟𝕤𝕙 𝕜ý𝕧 𝕝𝕦𝕡𝕫þ𝕫𝕝ù𝕥 𝕤𝕝 𝕜ý𝕧 𝕙𝕛𝕥þ𝕫ô𝕧õ𝕪. [Top]

ℙ𝕡 𝕣ý𝕫𝕝𝕡𝕪 ô𝕧õ 𝕫õ𝕫ô𝕖𝕤𝕙ô𝕧𝕪

\(\(a\_1\) x + \(b\_1\) y + 
              c\_1 = \(0 \ 𝕢𝕙𝕡\  \(a\_2\) x + \(b\_2\) y + c\_2 = 0\)\)

𝕝𝕗𝕥𝕙𝕡 𝕧𝕡

x=(((Subscript[b, 1]) (Subscript[c, 2]) - (Subscript[b, 2]) (Subscript[c, 1]))/((Subscript[a, 1]) 
                      (Subscript[b, 2]) - (Subscript[a, 2]) (Subscript[b, 1])))  𝕢𝕙𝕡 y=(((Subscript[a, 2]) (Subscript[c, 1]) - (Subscript[a, 1]) (Subscript[c, 2]))/((Subscript[a, 1]) 
                      (Subscript[b, 2]) - (Subscript[a, 2]) (Subscript[b, 1]))).

𝔹𝕥 𝕟 𝕧𝕩𝕗𝕞𝕧õ𝕫𝕙 ô𝕧õ 𝕫õ𝕫ô𝕖𝕤𝕙ô𝕧𝕪  (Subscript[a, 1]) (Subscript[b, 2]) - (Subscript[a, 2]) (Subscript[b, 1]) 𝕝𝕗𝕥𝕙𝕡 𝕤𝕟𝕜𝕕𝕥, ôüô𝕝 ô𝕧 𝕫ý𝕫ô𝕟𝕤𝕙 𝕝𝕗𝕥𝕙𝕡 𝕙𝕜ý𝕥𝕙ô𝕧 𝕖 𝕙ü𝕩𝕡𝕫ô𝕧.

ℚ𝕙𝕩𝕔𝕜𝕝𝕡𝕛𝕤𝕙: 𝕃ý𝕫ô𝕝 ô𝕧 𝕫ý𝕫ô𝕟𝕤𝕙 2x-y+1=0, 2  x + 5  y = 4.

Clear[x,y];
Solve[{2x-3y+1==0,x+5y-4==0},{x,y}]

𝔻𝕝𝕥𝕡𝕢𝕝õ𝕤𝕕𝕥𝕙 𝕫õ𝕫ô𝕖𝕤𝕙ô𝕙 𝕝𝕦𝕡𝕫þ𝕫𝕝ù𝕥 [Top]

𝕌𝕧  Mathematica  𝕨𝕙𝕩𝕕÷𝕝𝕡 ô𝕟 𝕜õ𝕥𝕙ôüô𝕟ô𝕙 𝕝𝕨𝕗𝕣õ𝕫𝕟𝕪 𝕫õ𝕫ô𝕖𝕤𝕙ô𝕧𝕪 𝕝𝕦𝕡𝕫þ𝕫𝕝ù𝕥 𝕢𝕔𝕠𝕝 𝕚𝕙𝕠𝕤𝕧ý.

ℚ𝕙𝕩𝕔𝕜𝕝𝕡𝕛𝕤𝕙: 𝕃ý𝕫ô𝕝 ô𝕧 𝕫ý𝕫ô𝕟𝕤𝕙

(x^2)+3  y+1=\(0 \ 𝕢𝕙𝕡\ \  4  x\^5 + 2  y\^3 + x - 4 = 0\)

Clear[x,y];
NSolve[{x^2+3y+1==0,4x^5+2y^3+x-4==0},{x,y}]

𝔻𝕩𝕙ö𝕖𝕤𝕙ô𝕙 [Top]

𝕌𝕧 Mathematica 𝕨𝕙𝕩𝕕÷𝕝𝕡 ô𝕟 𝕜õ𝕥𝕙ôüô𝕟ô𝕙 𝕙𝕨𝕝𝕡𝕢ü𝕥𝕡𝕫𝕟𝕪 𝕫ô𝕧 𝕝𝕨𝕗𝕨𝕝𝕜𝕧 𝕫õ𝕥𝕔𝕩ô𝕟𝕫𝕟𝕪 𝕤𝕗𝕙𝕪 𝕤𝕝ô𝕙𝕚𝕣𝕟ô𝕖𝕪 𝕢𝕙𝕡 𝕫ô𝕧 ÷þ𝕩𝕧 𝕫õ𝕥𝕔𝕩ô𝕟𝕫𝕟𝕪 𝕜ý𝕧 𝕤𝕝ô𝕙𝕚𝕣𝕟ôþ𝕥.

ℚ𝕙𝕩𝕔𝕜𝕝𝕡𝕛𝕤𝕙: 𝔹𝕨𝕝𝕡𝕢𝕧𝕥𝕗𝕫ô𝕝 𝕛𝕩𝕙ö𝕡𝕢𝕔 ô𝕟 𝕫õ𝕥𝕔𝕩ô𝕟𝕫𝕟

(x^2),   -1  ≤ x  ≤ 
      2

Clear[x];
Plot[{x^2}, {x, -1, 2}];

ℚ𝕙𝕩𝕔𝕜𝕝𝕡𝕛𝕤𝕙: 𝔹𝕨𝕝𝕡𝕢𝕧𝕥𝕗𝕫ô𝕝 𝕛𝕩𝕙ö𝕡𝕢𝕔 ô𝕟 𝕫õ𝕥𝕔𝕩ô𝕟𝕫𝕟

Sin[xy],   -1  ≤ x  ≤ 
      1,  0 ≤ y ≤ 2

Clear[x, y];
Plot3D[Sin[x  - y], {x, -1, 2}, {y, 0, 2  Pi}];

ℚ𝕙𝕩𝕙𝕤𝕝ô𝕩𝕡𝕢𝕕𝕪 𝕝𝕦𝕡𝕫þ𝕫𝕝𝕡𝕪 [Top]

𝕋õ÷𝕥𝕔 𝕙𝕥𝕙𝕨𝕙𝕩𝕡𝕫ô𝕧ý𝕤𝕝 𝕢𝕙𝕤𝕨ý𝕣𝕝𝕪 𝕫ô𝕧 𝕝𝕨𝕗𝕨𝕝𝕜𝕧 𝕤𝕝 𝕜ý𝕧 𝕖 𝕨𝕝𝕩𝕡𝕫üô𝕝𝕩𝕝𝕪 𝕝𝕦𝕡𝕫þ𝕫𝕝𝕡𝕪 𝕙𝕥ô𝕗 𝕤𝕗𝕙𝕪.  ℍ x-𝕫õ𝕥ô𝕝ô𝕙𝕛𝕤𝕕𝕥𝕟 𝕝𝕥ü𝕪 𝕫𝕟𝕤𝕝𝕗𝕧õ 𝕤𝕗𝕙𝕪 𝕢𝕙𝕤𝕨ý𝕣𝕟𝕪 𝕜𝕗𝕥𝕝ô𝕙𝕡 𝕨𝕙𝕩𝕙𝕤𝕝ô𝕩𝕡𝕢𝕔  𝕙𝕨ü 𝕤𝕗𝕙 𝕫õ𝕥𝕔𝕩ô𝕟𝕫𝕟 𝕤𝕡𝕔𝕪 𝕤𝕝ô𝕙𝕚𝕣𝕟ô𝕖𝕪 - 𝕕𝕫ôù ô𝕟𝕪 t, 𝕢𝕙𝕡 𝕟 y-𝕫õ𝕥ô𝕝ô𝕙𝕛𝕤𝕕𝕥𝕟 𝕙𝕨ü 𝕤𝕗𝕙 𝕔𝕣𝕣𝕟 𝕫õ𝕥𝕔𝕩ô𝕟𝕫𝕟 ù𝕪 𝕨𝕩𝕧𝕪 ô𝕟𝕥 𝕗𝕜𝕡𝕙 𝕨𝕙𝕩𝕔𝕤𝕝ô𝕩𝕧.
𝕌𝕕ô𝕧𝕡𝕝𝕪 𝕝𝕦𝕡𝕫þ𝕫𝕝𝕡𝕪 𝕧𝕥𝕧𝕤𝕔𝕞𝕧𝕥ô𝕙𝕡 𝕨𝕙𝕩𝕙𝕤𝕝ô𝕩𝕡𝕢𝕕𝕪.

ℚ𝕙𝕩𝕔𝕜𝕝𝕡𝕛𝕤𝕙: ℍ 𝕨𝕙𝕩𝕙𝕤𝕝ô𝕩𝕡𝕢𝕖 𝕝𝕦𝕗𝕫ù𝕫𝕟 ô𝕧õ 𝕤𝕧𝕥𝕙𝕜𝕡𝕙𝕗𝕧õ 𝕢ý𝕢𝕣𝕧õ 𝕝𝕗𝕥𝕙𝕡 𝕟

\(x = \(sin\ t \ 𝕢𝕙𝕡\  y = cos\ \(\(t\)\(.\)\)\)\)

Clear[t];
ParametricPlot[{Sin[t], Cos[t]}, {t, 0, 2  Pi},  
        AspectRatio  ->  Automatic,  
        Axes -> True];

Η βιβλιοθήκη color, μϵ χρήση της ϵντολής  <<Graphics`Colors` ϵπιτρέπϵι τη δημιουργία γραϕημάτων μϵ χρώμα. .

<< Graphics`Colors`

Plot[(x^2), {x, 0, 5}, PlotStyle -> Blue]

Για να αλλάξουμϵ το πάχος γραμμής ϵισάγουμϵ την ϵντολή

Plot[(x^2), {x, 0, 5}, 
      PlotStyle -> {Purple, Thickness[ .03]}]

Ταυτόχρονος σχϵδιασμός γραϕημάτων [Top]

Plot[{(x^2),  (x^4), (x^8)}, {x, 0, 0.5} ];

Μπορούμϵ να ζωγραϕίσουμϵ δύο ή πϵρισσότϵρα γραϕήματα στο ίδιο άξονα συντϵταγμένων, δίνοντας ονόματα σϵ κάθϵ μία από τις συναρτήσϵις που ϵμϕανίζονται.

Show[Plot[(x^2), {x, 0, 0.5}], 
      Plot[(x^4), {x, 0, 0.5}, PlotStyle -> Oak], 
      Plot[(x^8), {x, 0, 0.5}, PlotStyle -> Yellow]]

Παραδϵίγματα ϵιδικών συναρτήσϵων [Top]

Πολυωνυμικές συναρτήσϵις [Top]

Plot[{(x^2) + x, (x^3) - (x^2)}, {x, -20, 20}, 
        PlotStyle -> {ForestGreen, Magenta}];

Ρητές συναρτήσϵις [Top]

Plot[{(((x^2) + x + 1)/(x^2)), (x/(1 + x))}, {x, -5, 5}, 
        PlotStyle -> {ForestGreen, Magenta}];

Τριγωνομϵτρικές συναρτήσϵις [Top]

Plot[{Sin[x], Cos[x], Tan[x]}, {x, -5, 5}, 
        PlotStyle -> {ForestGreen, Purple, Brown}];

>>Graphics`ParametricPlot3D`

CylindricalPlot3D[
      r^2  Sin[2  t],  {r, 0, 1}, {t,  0,  2 Pi}]

Εκθϵτικές συναρτήσϵις [Top]

Plot[{(2^x), (E^x), (3^x)}, {x, -5, 5}, 
        PlotStyle -> {ForestGreen, Purple, Brown}];

Λογαριθμηκές συναρτήσϵις [Top]

Plot[{Log[x], Log[10, x]}, {x, 0, 10}, 
        PlotStyle -> {ForestGreen, Purple}];

Needs["Graphics`Graphics`"];

PolarPlot[t^2, {t, -2*Pi, 2 * Pi}]

Ορισμός Συνάρτησης [Top]

Θα ορίσουμϵ συνάρτηση.

F[x_] := 2 Sin[x] + 6

Αντικατάσταση της μϵταβλητής x_

F[π]

F[{-3, 0, 5, 8}]

Plot[F[x], {x, -2 π, 2  π}]

Δημιουργία κίνησης [Top]

Βίντϵο που ακολουθϵί παριστάνϵι την γϵωμϵτρική δημιουργία της παραγώγου.

Για να δϵίτϵ το βίντϵο κάντϵ διπλό κλικ στην ϵικόνα. 
 Η ταχύτητα όπως και άλλϵς παραμέτροι ϵλέγχονται από κουμπιά που ϵμϕανίζονται στη βάση του παράθυρου.

Ασκήσϵις.   [Top]
1. Λύστϵ τις ϵξισώσϵις:
   a. 2  (x^2) + x - 4 = 0
   b. (x^3) + 4  x + (y^2) = 0 και (x^3) - y + xy + 3 = 0. 
2. Παραστϵίστϵ γραϕικά τις παρακάτω καμπύλϵς
    a. (x^2) + y + xy = 0
    b. (x^3) + xy + (y^2) + 2  y = 0
    c. Sin[x] + (xy^2) = 0
    d. Log[x]+Exp[4xy]=0