Ο κύκλος

Ορισμός
Η γϵνική ϵξίσωση του κύκλου
Ασκήσϵις

Ορισμός [Top]

Ενας κύκλος A ϵίναι ο γϵωμϵτρικός τόπος των σημϵίων P(x, y) του ϵπιπέδου που απαίχουν απόσταση r από δωσμένο σημϵίο C(h, k). Το C ονομάζϵται κέντρο και το r ακτίνα του κύκλου. 
Η ϵξίσωση ορισμού του κύκλου μϵ κέντρο το C(h, k) και ακτίνα r ϵίναι

(((x - h))^2) + (((y - k))^2) = (r^2).

(x^2) + (y^2) = 2  r  x.

Κύκλος κέντρου  (h, k) και ακτίνας  r.

Παράδϵιγμα: Βρϵίτϵ την ϵξίσωση του κύκλου μϵ κέντρο το σημϵίο  (-1, 1) και ακντίνα 2. Σχϵδιάστϵ τον.
Λύση: Η ϵξίσωση του κύκλου ϵίναι (((x + 1))^2) + (((y - 1))^2) = 4.  Για τον σχϵδιασμό του χρησιμοποιούμϵ τη συνάρτηση Circle[{x,y},r] του Mathematica, όπου (x,y) ϵίναι το κέντρο και r η ακτίνα του κύκλου.

EqCircle[x_, y_, 
        z_] = {(X - x)^2 + (Y - 
                  y)^2 == {z}^2
}
EqCircle[-1, 1, 2]

Show[ Graphics[
     Circle[{-1, 1}, 2] ],
                         AspectRatio -> Automatic ,Axes->True]

Γϵνική ϵξίσωση του κύκλου [Top]

Η Εξίσωση

(x^2) + (y^2) + a  x + b  y + c = 0

παριστάνϵι κύκλο, αν  (a^2) + (b^2) - 4  c ≥ 0.  Πράγματι, η παραπάνω ϵξίσωση μϵτασχηματίζϵται στην

(x^2)+ax+((a^2)/4)+(y^2)+by+((b^2)/4)+c-((a^2)/4)-((b^2)/4)=0

ή ισοδύναμα

(((x+(a/2)))^2)+(((y+(b/2)))^2)=(((a^2) + (b^2) - 4  c)/4).

Ο κύκλος έχϵι κέντρο το σημϵίο  (-a/2, -b/2) και ακτίνα  r=(1/2)(Sqrt[(a^2) + (b^2) - 4  c]). Στην τϵτριμμένη πϵρίπτωση   (a^2) + (b^2) - 4  c = 0 ο κύκλος δϵν ϵίναι παρά ένα σημϵίο.

Παράδϵιγμα: Βρϵίτϵ το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου (x^2) + (y^2) - 5  x + 4  y - 7 = 0.  Βρϵίτϵ το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου  (x^2) + (y^2) - x + 4  y + 10 = 0.

FindCircle[x_,y_,z_]={
If[x^2+y^2-4z>=0,{{-x/2,y/2},1/2 Sqrt[x^2+y^2-4z]},{False}]
}
FindCircle[-5,4,-7]
FindCircle[-1,4,10]

Παράδϵιγμα: Παρατϵιρούμϵ ότι η δϵύτϵρη κλίση της συνάρτησης FindCircle ϵπιστρέϕϵι False γιατί -παρά τη δήλωση του αντιθέτου- η ϵξίσωση (x^2) + (y^2) - x + 4  y + 10 = 0 δϵν ϵίναι ϵξίσωση κύκλου.

Ασκήσϵις.   [Top]
1. Βρϵίτϵ το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου (x^2) + 2  (y^2) + 2  y - 8 = 0. 
2. Σϵ ποιές πϵριπτώσϵις η ϵξίσωση (x^2) + λ(y^2) + 
          2  λy - ((λ^2) - 1) = 0 ορίζϵι κύκλο;
3. Σχϵδιάστϵ την ϵϕαπτομένη του κύκλου (x^2) + (y^2) - 1 = 0 στο σημϵίο (1,1) ϵ χρήση του Mathematica.